Росатом, 2023/24, отборочный этап, 11 класс

Подсказка

Перейдите в систему отсчёта, движущуюся со скоростью \(v\). В ней тело совершает гармонические колебания с максимальной скоростью \(v\).

Ответ

\(E_{\text{кин,max}} = 2mv^2\);  \(t = \pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}\).

Решение

Перейдём в систему отсчёта, движущуюся относительно земли со скоростью \(\vec v\), которая направлена в том же направлении, в котором мы тянем пружину. В этой системе отсчёта конец пружины покоится, а телу толчком сообщили скорость \(\vec v\), направленную от конца пружины. Очевидно, что в этой системе отсчёта тело совершает гармонические колебания, в которых максимальная величина скорости тела равна \(v\), а направления максимальной скорости чередуются: через половину периода колебаний (через \(T/2\), где \(T\) — период колебаний) вектор максимальной скорости тела (в рассматриваемой системе отсчёта) направлен от тела, ещё через половину периода — к телу, ещё через полпериода от тела и т. д. А поскольку скорость конца пружины в системе отсчёта, связанной с землёй, направлена от тела, то через половину периода колебаний \(T/2\) скорость тела относительно земли будет равна \(2v\), через \(T\) — нулю и т. д. Поэтому впервые после начала движения кинетическая энергия тела станет максимальной через время \[t = \frac{T}{2} = \pi\sqrt{\frac{m}{k}} .\] А само максимальное значение кинетической энергии равно \[E_{\text{кин,max}} = \frac{m(2v)^2}{2} = 2mv^2 .\]

Подсказка

Примените первый закон термодинамики к первому процессу и к изохорическому охлаждению; внутренняя энергия одноатомного газа равна \(\frac{3}{2}\nu RT\).

Ответ

\(C = \dfrac{9}{4}\,R\).

Решение

Применяем первый закон термодинамики к первому процессу: \[Q_1 = \Delta U_1 + A ,\] где \(Q_1\) — количество теплоты, полученное газом в первом процессе, \(\Delta U_1\) — изменение внутренней энергии газа в первом процессе (\(A > 0\) и \(\Delta U_1 > 0\), так как газ расширяется). С другой стороны, применение первого начала термодинамики к изохорическому охлаждению даёт \[\Delta U_1 = Q .\] (Обратим внимание, что по условию \(Q\) — это взятое у газа в изохорическом охлаждении тепло, поэтому \(Q > 0\).) А так как \(Q = 2A\), из первого закона термодинамики получаем, что \[Q_1 = 3A .\] Поскольку газ одноатомный, то \[\Delta U_1 = \frac{3}{2}\,\nu R\,\Delta T ,\] где \(\Delta T\) — изменение температуры газа в первом процессе, \(\nu\) — число молей, \(R\) — универсальная газовая постоянная. Отсюда \[\Delta T = \frac{2\Delta U_1}{3\nu R} = \frac{2Q}{3\nu R} = \frac{4A}{3\nu R} .\] Теперь можем найти молярную теплоёмкость газа в первом процессе: \[C = \frac{Q_1}{\nu\,\Delta T} = \frac{9}{4}\,R .\]

Подсказка

Найдите полное время падения и сравните координаты тела в моменты \(t_1/4\), \(t_1/2\), \(3t_1/4\). Расстояние за вторую четверть — разность путей.

Ответ

\(\Delta l_2 = \dfrac{3}{16}\,h\).

Решение

При падении тела с высоты \(h\) зависимость его вертикальной координаты \(y\) от времени \(t\) даётся выражением \[y(t) = h - \frac{gt^2}{2}\] (начало координат находится на поверхности земли, ось \(y\) направлена вертикально вверх). Время \(t_1\) падения тела до поверхности земли определяется из условия, что \(y\)-координата тела становится равной нулю: \[\frac{gt_1^2}{2} = h \quad\Rightarrow\quad t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}} .\] За первую четверть этого времени тело пройдёт расстояние \[l_1 = h - y\!\left(\frac{1}{4}t_1\right) = \frac{1}{16}\,h .\] За две четверти этого времени, отсчитанные от начала движения, тело пройдёт расстояние \[l_2 = h - y\!\left(\frac{2}{4}t_1\right) = \frac{1}{4}\,h .\] За три четверти этого времени, отсчитанные от начала движения, тело пройдёт расстояние \[l_3 = h - y\!\left(\frac{3}{4}t_1\right) = \frac{9}{16}\,h .\] Поэтому за первую, вторую, третью и четвертую четверти времени падения до поверхности земли тело пройдёт следующие расстояния \(\Delta l_1\), \(\Delta l_2\), \(\Delta l_3\) и \(\Delta l_4\) соответственно: \[\Delta l_1 = l_1 = \frac{1}{16}h , \quad \Delta l_2 = l_2 - l_1 = \frac{3}{16}h , \quad \Delta l_3 = l_3 - l_2 = \frac{5}{16}h , \quad \Delta l_4 = h - l_3 = \frac{7}{16}h .\] Для второй четверти времени падения ответ: \[\Delta l_2 = \frac{3}{16}\,h .\]

Подсказка

В момент начала всплытия сила Архимеда на шарики равна их весу. Выразите объём шариков через высоту их насыпки и уровень жидкости.

Ответ

\(\rho = \dfrac{P_2 - P_1}{gV}\).

Решение

Пусть площадь сечения стакана — \(S\), высота — \(H\). Тогда его объём \(V = SH\). По условию вес стакана равен \(P_1\). Вес стакана с шариками и водой \(P_2\) складывается из веса стакана, шариков и воды. Пусть в тот момент, когда шарики начали всплывать, мы налили в стакан жидкость высотой \(h\). Поскольку действующая на шарики сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости, а в момент начала всплытия сила Архимеда равна весу всех шариков, то произведение \(\rho_0 g S h\) (\(\rho_0\) — плотность жидкости) равно суммарному весу жидкости и всех шариков. Поэтому \[P_2 = P_1 + \rho_0 g h S .\] С другой стороны, в момент всплывания шариков действующая на них сила Архимеда равна силе тяжести. Поэтому \[\rho_0 g V_{\text{в жидк.}} = \rho\, g V_{\text{ш}} ,\] где \(V_{\text{в жидк.}}\) — объём шариков, находящихся в жидкости, \(V_{\text{ш}}\) — объём всех шариков, \(\rho\) — плотность шариков. Отсюда \[\frac{\rho_0}{\rho} = \frac{V_{\text{ш}}}{V_{\text{в жидк.}}} .\] Но поскольку шариков много и они маленькие, то отношение объёма всех шариков к объёму шариков, находящихся в жидкости, равно отношению высот насыпки шариков в стакан (т. е. \(H\)) к высоте уровня воды в стакане \(h\): \[\frac{V_{\text{ш}}}{V_{\text{в жидк.}}} = \frac{H}{h} .\] Отсюда находим \[\rho_0 = \frac{H}{h}\,\rho .\] Подставляя плотность жидкости в формулу для \(P_2\), находим \[\rho g H S = P_2 - P_1 ,\] и, учитывая \(V = SH\), \[\rho = \frac{P_2 - P_1}{gV} .\]

Подсказка

Сила, действующая на малый элемент поверхности, равна его заряду, умноженному на поле остальной сферы в месте элемента. Это поле вдвое меньше поля у поверхности снаружи. Суммируйте проекции сил на ось сегмента.

Ответ

\(F = \dfrac{5kQ^2}{72R^2}\), где \(k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\) (при высоте сегмента \(h = R/3\)).

Решение

Очевидно, что минимальная сила, которую нужно приложить к сегменту (и остальной части сферы), равна силе отталкивания сегмента от остальной части сферы. Найдём эту силу. Для этого рассмотрим очень маленький элемент площадью \(\Delta S\) поверхности равномерно заряженной зарядом \(Q\) сферы радиуса \(R\) и найдём, с какой силой этот элемент отталкивается от остальной сферы. Поскольку этот элемент очень мал, то действующую на него силу можно представить как \[F = \Delta Q\, E_{\text{о.с.}} ,\] где \(\Delta Q\) — заряд этого элемента, \(E_{\text{о.с.}}\) — напряжённость электрического поля остальной сферы в тех точках, в которых находится элемент \(\Delta S\). Заряд \(\Delta Q\) легко найти из условия равномерной заряженности сферы: \[\Delta Q = \frac{\Delta S}{4\pi R^2}\,Q ,\] так как площадь поверхности сферы \(S = 4\pi R^2\).

Напряжённость электрического поля остальной сферы в точках, где расположен элемент \(\Delta S\), можно найти из следующих соображений. С одной стороны, электрическое поле сферы во всех точках складывается из поля, создаваемого рассматриваемым элементом \(\Delta S\), и остальной сферой: \[\vec E = \vec E_{\Delta S} + \vec E_{\text{о.с.}} .\] С другой стороны, электрическое поле сферы вблизи элемента \(\Delta S\) снаружи сферы равно \(E = \dfrac{kQ}{R^2}\) (здесь \(k = (4\pi\varepsilon_0)^{-1}\) — постоянная закона Кулона), внутри сферы — равно нулю. Поскольку электрические поля, создаваемые элементом \(\Delta S\) снаружи и внутри сферы, одинаковы по величине и противоположно направлены, то поле остальной полусферы в точках, где расположен элемент \(\Delta S\), равно половине поля сферы вблизи её поверхности снаружи сферы: \[E_{\text{о.с.}} = \frac{kQ}{2R^2} .\] Поэтому сила, действующая на элемент \(\Delta S\) со стороны остальной сферы, по величине равна \[F = \frac{\Delta S}{4\pi R^2}\,Q\,\frac{kQ}{2R^2} = \frac{\Delta S\,Q^2}{2(4\pi)^2\varepsilon_0 R^4} ,\] и направлена по радиусу сферы из центра (элемент \(\Delta S\) отталкивается от остальной сферы).

Используя эту формулу, можно найти и силу, действующую на сегмент сферы. Для этого мысленно разобьём сегмент на малые площадки, найдём силы, действующие на каждую площадку, и просуммируем векторы сил. При этом для силы, действующей на каждую площадку, можно использовать формулу выше, дающую силу её взаимодействия со всей сферой, а не только с оставшейся после отрезания сегмента частью. Это связано с тем, что после суммирования силы, действующие между площадками отрезанного сегмента, сократятся по третьему закону Ньютона. И поскольку сила, действующая на отрезанный сегмент, направлена по его оси (это следует из симметрии задачи), то можно суммировать не векторы сил, а их проекции на ось сегмента.

Итак, рассмотрим малую площадку сегмента площадью \(\Delta S\), которую видно из центра сферы под углом \(\alpha\) к оси сегмента (см. рисунок; рассматриваемая площадка выделена жирным). Она отталкивается от остальной сферы с силой, найденной выше, поэтому суммарная сила, действующая на сегмент, равна сумме проекций на ось сегмента всех сил, действующих на площадки сегмента

\[F_{\text{рез}} = \sum F\cos\alpha ,\] где \(F_{\text{рез}}\) — результирующая сила, действующая на сегмент, суммирование осуществляется по всем площадкам сегмента. Используя формулу для \(F\), получим \[F_{\text{рез}} = \sum \frac{\Delta S\,Q^2}{2(4\pi)^2\varepsilon_0 R^4}\cos\alpha .\] Поскольку множители \(Q^2\), \((4\pi)^2\), \(\varepsilon_0\) и \(R^4\) одинаковы у каждого слагаемого суммы, их можно вынести за знак суммы. В результате получим \[F_{\text{рез}} = \frac{Q^2}{2(4\pi)^2\varepsilon_0 R^4}\sum \Delta S\cos\alpha .\] Но величина \(\Delta S\cos\alpha\) имеет смысл проекции площади рассматриваемой площадки на основание сегмента. Поэтому сумма таких величин даёт площадь основания сегмента. Так как площадь основания сегмента равна \[S = \pi\left(R^2 - (R-h)^2\right) = \pi h(2R - h) ,\] то для силы, с которой сегмент отталкивается от остальной части сферы (и соответственно для минимальной силы, которой нужно удерживать сегмент), имеем окончательно \[F_{\text{рез}} = \frac{Q^2 h(2R - h)}{32\pi\varepsilon_0 R^4} ,\] где \(h\) — высота сегмента. Для \(h = R/3\) получаем \[F_{\text{рез}} = \frac{5Q^2}{288\pi\varepsilon_0 R^2} = \frac{5kQ^2}{72R^2} ,\] где \(k = (4\pi\varepsilon_0)^{-1}\) — постоянная закона Кулона.