Росатом, 2023/24, отборочный этап, 7 класс

Сравните давление внутри банки с атмосферным и подумайте, как это влияет на объём и среднюю плотность помидора.

Поскольку банки закрывают горячими, давление внутри банки несколько меньше атмосферного. Поэтому все законсервированные фрукты или овощи имеют больший объём (и соответственно меньшую среднюю плотность), чем обычно. Особенно значительным этот эффект бывает для помидоров, которые имеют пустоты внутри. При открывании банки овощи несколько сжимаются, их плотность увеличивается, и они могут тонуть.

Выразите среднюю скорость через длину круга и время. Сколько кругов успел проехать второй автомобиль за то время, пока первый проехал 60 кругов?

\(v_2 = 116\) км/ч.

Среднюю скорость первой машины можно найти как \[v_1 = \frac{60S}{t_1} = 120~\text{км/ч},\] где \(S\) — длина одного круга. Средняя скорость второй машины определяется соотношением \[v_2 = \frac{60S}{t_1 + \Delta t},\] где \(\Delta t\) — время, за которое вторая машина проходит два круга. По условию за время \(t_1\) вторая машина прошла 58 кругов, а поскольку все свои круги каждая машина проходит за одинаковое время, то \(\Delta t = \dfrac{2t_1}{58}\). Отсюда находим \[v_2 = \frac{58S}{t_1} = \frac{58}{60}\,v_1 = 116~\text{км/ч}.\]

Какие грузы удерживает каждая верёвка? Запишите условие равновесия для каждой из них.

\(m_1 : m_2 = 2 : 1\).

Верхняя нить удерживает груз массой \(m_1 + m_2\), и, следовательно, сила натяжения верхней верёвки пропорциональна величине \(m_1 + m_2\). Нижняя верёвка удерживает груз \(m_2\), поэтому её сила натяжения пропорциональна величине \(m_2\). Отсюда имеем \[\frac{F_1}{F_2} = \frac{3}{1} = \frac{m_1 + m_2}{m_2} = \frac{m_1}{m_2} + 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{m_1}{m_2} = 2.\]

Подумайте, как распределить езду на велосипеде между спортсменами так, чтобы все три прибыли к финишу одновременно.

\(t = \dfrac{7l}{9v} = 1\) ч (по официальному решению).

Чтобы максимально использовать велосипед, спортсмены должны двигаться так: два бегут, третий едет на велосипеде. Проехав \(1/3\) пути, третий спортсмен оставляет велосипед и дальше бежит. Когда первый и второй спортсмены добегают до велосипеда, один начинает ехать на велосипеде, второй продолжает бежать. Проехав вторую треть пути, тот спортсмен, который едет на велосипеде, оставляет велосипед и дальше бежит. Третий, добежав до велосипеда, начинает ехать на нём. В результате все три спортсмена добегают до пункта назначения одновременно, пробежав \(2/3\) пути и проехав на велосипеде \(1/3\) пути. Время прохождения дистанции равно \[t = \frac{2l/3}{v} + \frac{l/3}{3v} = \frac{7l}{9v} = 1~\text{ч}.\]

Выразите скорость эскалатора двумя способами через число ступенек и время каждого друга.

\(N = 42\).

Пусть количество ступенек на эскалаторе сверху донизу равно \(N\), длина каждой ступеньки (вдоль эскалатора) равна \(\Delta l\), первый друг совершает шаг за время \(\Delta t\), второй — за время \(2\Delta t\).

Так как первый друг сделал во время подъёма 28 шагов, то он затратил на это время \(28\Delta t\), а \(N - 28\) ступенек ушли наверху под порожек эскалатора. Поэтому скорость эскалатора равна \[v_{\text{э}} = \frac{(N - 28)\,\Delta l}{28\,\Delta t}.\] Второй сделал 21 шаг, значит за время \(42\Delta t\) под верхний порожек эскалатора ушли \(N - 21\) ступенек. Поэтому скорость эскалатора будет равна \[v_{\text{э}} = \frac{(N - 21)\,\Delta l}{42\,\Delta t}.\] Приравнивая эти скорости и решая уравнение относительно \(N\), получим \(N = 42\).