Росатом, 2023/24, отборочный этап, 7 класс

Подсказка

Сколько времени автомобили двигались до встречи? Что происходит после встречи, если поменять местами их скорости?

Ответ

\(t = \dfrac{2S}{3v}\).

Решение

От момента встречи до пунктов назначения первый автомобиль повторит движение второго, а второй автомобиль — движение первого. А поскольку от выхода из «своих» городов до встречи автомобили двигаются время \[t = \frac{S}{v + 2v} = \frac{S}{3v},\] то автомобили придут в пункты назначения (первый — в город B, второй — в город A) одновременно через удвоенное указанное время \[t_{1,2} = \frac{2S}{3v}\] после своего выхода из городов A и B.

Подсказка

Определите по графику, в какой момент вода перестала заполнять ванну и начала вытекать. Какова скорость поступления воды из крана?

Ответ

\(V_{\text{выл}} = 144\) л.

Решение

По графику заключаем, что от \(t_1 = 0\) до \(t_2 = 25\) минут ванна заполнялась (увеличивался объём воды), от \(t_2 = 25\) минут до \(t_3 = 55\) минут объём воды в ванне не менялся, следовательно, ванна была заполнена полностью, а вся вода, которая поступала из крана, вытекала.

По первому участку графика найдём скорость поступления воды из крана. Поскольку полный объём ванны \(V = 120\) л был заполнен за время \(t_2\), то скорость поступления воды из крана равна \[v = \frac{V}{t_2} = 4{,}8~\frac{\text{л}}{\text{мин}}.\] А так как вся вода, поступившая между моментами \(t_2\) и \(t_3\), вылилась из ванны, то объём этой воды равен \[V_{\text{выл}} = v\,(t_3 - t_2) = \frac{V\,(t_3 - t_2)}{t_2} = 144~\text{л}.\]

Подсказка

Выразите среднюю скорость победителя через длину круга и время прохождения трассы. Какое расстояние за то же время прошёл второй призёр?

Ответ

\(v_{\text{ср},2} = 96\) км/ч.

Решение

Пусть длина одного круга на трассе равна \(S\), а время, которое затратил на прохождение всей трассы победитель, равно \(t\). Тогда согласно определению средней скорости \[v_{\text{ср},1} = v = \frac{50S}{t}.\] За это же время второй призёр прошёл на 2 круга меньшее расстояние, поэтому его средняя скорость за это время составляет \[v_{\text{ср},2} = \frac{48S}{t}.\] Выражая из первой формулы отношение \(S/t\) и подставляя его во вторую, получим \[v_{\text{ср},2} = \frac{48}{50}\,v = 96~\text{км/ч}.\]

Подсказка

Объём тела складывается из объёма кубика и объёма пластилина. Объём пластилина удобно найти через его массу, которая равна полной массе тела минус масса кубика.

Ответ

\(V = \dfrac{M}{\rho_2} - a^3\,\dfrac{\rho_1 - \rho_2}{\rho_2} \approx 87{,}4\) см\(^3\).

Решение

Очевидно, объём \(V\) тела складывается из объёма железного кубика \(V_1\) и объёма собственно пластилина \(V_2\): \[V = V_1 + V_2.\] Объём железного кубика находится через его линейные размеры: \(V_1 = a^3\). Объём пластилина найдём через его массу. Поскольку масса кубика есть \(m_1 = \rho_1 V_1 = \rho_1 a^3\), то масса пластилина определяется соотношением \[m_2 = M - m_1 = M - \rho_1 a^3.\] Отсюда находим \[V_2 = \frac{m_2}{\rho_2} = \frac{M}{\rho_2} - \frac{\rho_1 a^3}{\rho_2}.\] Теперь получаем окончательно \[V = a^3 + \frac{M}{\rho_2} - \frac{\rho_1 a^3}{\rho_2} = \frac{M}{\rho_2} - a^3\,\frac{\rho_1 - \rho_2}{\rho_2} = 87{,}4~\text{см}^3.\]

Ответ

\(S_1 = \dfrac{7}{4}\,S\).

Решение

Рассмотрим воду, расположенную между двумя сечениями труб, которые показаны на рисунке пунктирными линиями. Так как у воды не меняется плотность и не меняется объём выделенного участка воды, то масса воды, находящейся между выделенными сечениями, не меняется с течением времени, несмотря на то, что вода течёт. А это значит, что массы воды, втекающей в выделенный участок за некоторый интервал времени, и вытекающей из него за тот же интервал, одинаковы. Найдём эти массы и приравняем их друг другу.

Рассмотрим трубку, площадью сечения \(S\), по которой течёт жидкость со скоростью \(v\) (см. рисунок). Так как скорость всех элементов жидкости \(v\), за интервал времени \(\Delta t\) сечение трубы пересекут те элементы жидкости, которые находятся на расстоянии, меньшем чем \(v\,\Delta t\) (выделены более тёмным на рисунке). Их масса равна произведению плотности жидкости \(\rho\) на объём этих элементов жидкости \(Sv\,\Delta t\): \[m = \rho S v\,\Delta t.\]

Вернёмся теперь к задаче. Так как в участок воды, расположенный между двумя пунктирными прямыми на первом рисунке, втекает вода по двум трубкам площадью сечения \(S\) и \(3S\) со скоростями \(v\) и \(2v\) соответственно, в него за некоторый интервал времени \(\Delta t\) втекает масса воды \[m_{\text{втек}} = \rho S v\,\Delta t + \rho\, 3S\cdot 2v\,\Delta t = 7\rho S v\,\Delta t,\] а вытекает по одной трубке масса воды \[m_{\text{вытек}} = \rho S_1\cdot 4v\,\Delta t,\] где \(S_1\) — искомая площадь выходной трубки. Приравнивая эти массы, находим \[S_1 = \frac{7}{4}\,S.\]