Росатом, 2023/24, отборочный этап, 9 класс

Запишите условие равновесия рычага для каждого из двух случаев, с плечами \(l_1\) и \(l_2\).

\(\Delta m = \dfrac{2m_2^2 - m_1^2}{m_1}\).

Условия равновесия грузов в первом и втором случае дают \[m_1 l_1 = m_2 l_2, \qquad 2m_2 l_1 = (m_1 + \Delta m)\, l_2,\] где \(l_1\) и \(l_2\) — плечи весов, \(\Delta m\) — масса дополнительного груза. Деля уравнения друг на друга, находим \[\Delta m = \frac{2m_2^2 - m_1^2}{m_1}.\]

Выразите скорость эскалатора через число ступенек, которое проходит каждый друг, и приравняйте полученные выражения.

\(N = 42\).

Пусть количество ступенек на эскалаторе сверху донизу равно \(N\), длина каждой ступеньки (вдоль эскалатора) равна \(\Delta l\), первый друг совершает шаг за время \(\Delta t\), второй — за время \(2\Delta t\).

Так как первый друг сделал во время подъёма 28 шагов, то он затратил на это время \(28\Delta t\), а \(N - 28\) ступенек ушли наверху под порожек эскалатора. Поэтому скорость эскалатора равна \[v_\text{Э} = \frac{(N - 28)\Delta l}{28\Delta t}.\] Второй сделал 21 шаг, значит за время \(42\Delta t\) под верхний порожек эскалатора ушли \(N - 21\) ступенек. Поэтому скорость эскалатора будет равна \[v_\text{Э} = \frac{(N - 21)\Delta l}{42\Delta t}.\] Приравнивая эти скорости и решая уравнение относительно \(N\), получим \(N = 42\).

Путь за \(n\)-ю секунду — это разность путей, пройденных за \(n\) и за \(n-1\) секунд от начала движения.

\(a = \dfrac{2S}{t_{10}^2 - t_9^2} = 1{,}05\) м/с\(^2\).

Координаты автомобиля через 9 и 10 секунд после начала движения равны \[x_9 = \frac{a t_9^2}{2}, \qquad x_{10} = \frac{a t_{10}^2}{2},\] где \(t_9 = 9\) с и \(t_{10} = 10\) с. Отсюда находим путь \(S\), пройденный за десятую секунду после начала движения: \[S = x_{10} - x_9 = \frac{a\left(t_{10}^2 - t_9^2\right)}{2}.\] Отсюда \[a = \frac{2S}{t_{10}^2 - t_9^2} = 1{,}05~\text{м/с}^2.\]

Между двумя последовательными моментами, когда фигуристка повёрнута лицом к партнёру, проходит одинаковое время. Сравните, на какой угол за это время поворачивается фигуристка и на какой — фигурист относительно неё.

\(t_2 = \dfrac{t}{n+1} = 1\) с.

Пусть угловая скорость вращения фигуристки \(\omega_2\), фигуриста \(\omega_1\) (\(\omega_2 > \omega_1\)). Очевидно, \[\omega_1 = \frac{2\pi}{t_1}, \qquad \omega_2 = \frac{2\pi}{t_2},\] где \(t_1 = t/2\) и \(t_2\) — время полного оборота фигуриста и фигуристки. В системе отсчёта, связанной с фигуристкой, фигурист вращается в противоположном направлении с угловой скоростью \(\omega_2 - \omega_1\). Время полного оборота фигуриста вокруг фигуристки, которое с одной стороны есть \(t/(n-1)\), равно \[\frac{t}{n-1} = \frac{2\pi}{\omega_2 - \omega_1} = \frac{t_2 t_1}{t_1 - t_2}.\] Отсюда \[\frac{n-1}{t} = \frac{1}{t_2} - \frac{1}{t_1} \quad\Rightarrow\quad t_2 = \frac{t}{n+1} = 1~\text{с}.\]

Сравните время \(\tau\) с временем, за которое мел разгоняется до скорости доски при скольжении.

\(S_1 = v_0\tau - \dfrac{kg\tau^2}{2} = 3{,}5\) м.

Когда доске резко сообщают скорость, мел начинает скользить по доске и движется с постоянным ускорением \(a = kg\) (причём движение мела относительно доски происходит в направлении, противоположном направлению движения доски). Если за то время, пока доска движется, мел успевает приобрести скорость доски, то он проходит по доске путь \(S = \dfrac{v_0^2}{2kg}\), а дальше движется вместе с доской. Поэтому след на доске имеет длину \(S\). Если теперь доску мгновенно остановить, мел будет двигаться относительно доски в противоположную сторону и пройдёт точно такой же путь до остановки (т.к. его начальная скорость и ускорение такие же). Поэтому мел остановится в той же точке, где он находился до сообщения доске скорости, и, следовательно, длина следа равна \[S = \frac{v_0^2}{2kg}. \qquad (*)\] Если время \(\tau\) мало (\(\tau < v_0/(kg)\)), то мел не успевает приобрести скорость доски, а до остановки проходит расстояние \[S_1 = v_0\tau - \frac{kg\tau^2}{2}, \qquad (**)\] которое меньше, чем расстояние \((*)\). Если теперь доску остановить, то мел относительно доски будет иметь скорость \(kg\tau\) и пройдёт в обратную сторону до остановки следующий путь \[S_2 = \frac{kg\tau^2}{2}. \qquad (***)\] Поскольку \(kg\tau < v_0\), то «обратный» путь мела по доске \(S_2\) меньше «прямого», поэтому длина следа на доске равна \(S_1\) \((**)\).

Итак, длина следа мела на доске определяется формулой \((*)\), если \(\tau > v_0/(kg)\), и формулой \((**)\), если \(\tau < v_0/(kg)\). В первом варианте: \(\tau = 1\) с, \(k = 0{,}3\), \(v_0 = 5\) м/с. Поэтому \(\tau < v_0/(kg)\). Длина следа \[S_1 = v_0\tau - \frac{kg\tau^2}{2} = 3{,}5~\text{м}.\]