Росатом, 2023/24, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Сравните токи через вольтметры: какой из них включён последовательно с первым амперметром, а какой параллельно второму? Сопротивления приборов одинаковы.

Ответ

1) \(I_2 = \dfrac{U_2 - U_1}{U_2}\,I_1 = 1{,}375\) мА;  2) \(U_0 = \dfrac{U_1 U_2}{U_2 - U_1} + U_1 + U_2 = 2{,}82\) В.

Решение

Ток через вольтметр, включённый последовательно с амперметром, больше тока через вольтметр, включённый параллельно амперметру. Поэтому показание \(U_1 = 0{,}2\) В относится ко второму вольтметру, а \(U_2 = 2{,}4\) В — к первому.

Пусть сопротивление амперметров — \(r_A\), вольтметров — \(r_V\). Первый вольтметр показывает напряжение на самом себе, и через него течёт ток первого амперметра: \[r_V = \frac{U_2}{I_1}.\] Так как сопротивления вольтметров одинаковы, ток через второй вольтметр в \(U_1/U_2\) раз меньше тока через первый. Поэтому ток через второй амперметр \[I_2 = I_1 - \frac{U_1}{U_2}I_1 = \frac{U_2 - U_1}{U_2}\,I_1 = 1{,}375~\text{мА}.\] Отношение токов на параллельном участке обратно отношению сопротивлений: \(\dfrac{r_A}{r_V} = \dfrac{U_1}{U_2 - U_1}\), откуда \[r_A = \frac{U_1 U_2}{(U_2 - U_1) I_1}.\] Напряжение источника равно сумме напряжений на первом амперметре, первом вольтметре и на параллельном участке (второй амперметр и второй вольтметр): \[U_0 = \frac{U_1 U_2}{U_2 - U_1} + U_1 + U_2 = 2{,}82~\text{В}.\]

Подсказка

Канат пройдёт петлю, если при полностью заполненной петле он ещё движется. Где находится центр тяжести части каната, заполняющей петлю?

Ответ

\(v = \sqrt{\dfrac{4\pi gR}{7}}\).

Решение

Канат сможет пройти петлю, если при её полном заполнении он ещё имеет ненулевую (сколь угодно малую) скорость. Минимальная скорость каната соответствует случаю, когда при полностью заполненной петле канат имеет нулевую скорость. Центр тяжести каната, полностью заполняющего петлю радиуса \(R\), находится в центре петли, т.е. на высоте \(R\) над трубой. По закону сохранения энергии \[\frac{mv^2}{2} = m_1 gR,\] где \(m_1\) — масса части каната, полностью заполняющей петлю. Канат однороден, поэтому \[m_1 = \frac{2\pi R}{l}\,m = \frac{2\pi}{7}\,m, \qquad l = 7R.\] Отсюда \[v = \sqrt{\frac{4\pi gR}{7}}.\]

Подсказка

Соедините точки А и В гладкой наклонной плоскостью и замкните верёвку: её равновесие не изменится. Какая часть верёвки лежит на плоскости и что её удерживает?

Ответ

\(T_B = T_A + \dfrac{mgh}{l}\).

Решение

Соединим точки А и В гладкой наклонной плоскостью и замкнём верёвку, так что часть длиной, равной длине плоскости, лежит на ней. Такая верёвка будет в равновесии (иначе был бы вечный двигатель). Висящая между А и В часть верёвки тоже находится в равновесии, и её положение не изменилось: если закрепить концы в точках А и В и отрезать часть, лежащую на плоскости, получим исходную верёвку.

Силы натяжения в точках А и В уравновешивают висящую часть, а разность этих сил уравновешивает часть верёвки на плоскости: \[m_1 g\sin\alpha = T_B - T_A,\] где \(m_1\) — масса части верёвки на плоскости. Так как верёвка однородна, \(m_1 = \dfrac{L}{l}\,m\), где \(L\) — длина наклонной плоскости. Синус угла наклона \(\sin\alpha = \dfrac{h}{L}\). В результате \[T_B = T_A + \frac{mgh}{l}.\]

Подсказка

Все точки траектории находятся на поверхности сферы и на расстоянии \(R/2\) от точки края чаши. Что это за линия и в какой плоскости она лежит?

Ответ

1) \(v = \dfrac{1}{2}\sqrt{\sqrt{15}\,gR}\);  2) \(a = 2g\).

Решение

Введём систему координат с началом в центре сферы и осью \(x\), направленной к точке закрепления нити (рис.). Все точки траектории лежат на сфере, поэтому \[x^2 + y^2 + z^2 = R^2.\] Все они находятся на расстоянии \(R/2\) от точки \((R,\,0,\,0)\): \[(x - R)^2 + y^2 + z^2 = \frac{R^2}{4}.\] Вычитая равенства, получаем \(x = \dfrac{7R}{8}\). Значит, координата \(x\) тела не меняется: тело движется в плоскости, перпендикулярной оси \(x\), на расстоянии \(\dfrac{7R}{8}\) от центра, т.е. по окружности радиуса \[r = \sqrt{R^2 - \left(\frac{7R}{8}\right)^2} = \frac{\sqrt{15}}{8}R.\]

Скорость тела в нижней точке найдём из закона сохранения энергии: \[\frac{mv^2}{2} = mg\,\frac{\sqrt{15}}{8}R, \qquad v = \frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{15}\,gR}.\] Тело движется по окружности, поэтому в нижней точке его ускорение центростремительное: \[a = \frac{v^2}{r} = 2g.\]

Подсказка

Найдите давление газа в начальном состоянии из условия равновесия одного поршня. Затем подумайте, что будет происходить с поршнями при охлаждении газа, пока большой поршень не дойдёт до стыка труб.

Ответ

\(\Delta x = \dfrac{Sp_0 + 2kl - \sqrt{S^2 p_0^2 + 4k^2 l^2}}{2k}\) (пружина сжата).

Решение

В начальном состоянии поршни и пружина находятся в равновесии: условие равновесия тела из двух поршней и пружины даёт, что давление газа между поршнями равно атмосферному \(p_0\), и пружина не деформирована.

При понижении температуры условие равновесия поршней остаётся тем же: давление газа равно \(p_0\), пружина не деформирована. Процесс изобарический, поршни движутся в сторону узкой трубы, расстояние между ними не меняется, а объём газа уменьшается. Когда большой поршень дойдёт до стыка труб, объём газа станет равен \(2lS\). По закону Гей-Люссака \[\frac{lS + l\cdot 2S}{T} = \frac{2lS}{T_1}, \qquad T_1 = \frac{2}{3}T.\] При дальнейшем понижении температуры большой поршень упирается в стык, и условие равновесия сводится к равновесию малого поршня. Давление газа начинает падать, и атмосфера сжимает пружину, перемещая малый поршень к стыку труб. Пусть перемещение этого поршня при температуре \(T/3\) равно \(\Delta x\). Тогда объединённый газовый закон и условие равновесия малого поршня дают \[\frac{p_0\cdot 2lS}{2T/3} = \frac{p_1\,(2l - \Delta x)S}{T/3}, \qquad (p_0 - p_1)S = k\,\Delta x,\] где \(p_1\) — давление газа при температуре \(T/3\). Отсюда квадратное уравнение \[k\,\Delta x^2 - \left(Sp_0 + 2kl\right)\Delta x + lSp_0 = 0,\] решение которого (второй корень не подходит, так как больше длины пружины) \[\Delta x = \frac{Sp_0 + 2kl - \sqrt{S^2 p_0^2 + 4k^2 l^2}}{2k}.\] При понижении температуры до \(T/3\) пружина сжата на величину \(\Delta x\).