Росатом, 2023/24, заключительный этап, 11 класс

Подсказка

КПД источника равен отношению сопротивления внешней цепи к сумме этого сопротивления и внутреннего сопротивления источника. Выразите сопротивления резисторов через \(\eta_1\), \(\eta_2\) и внутреннее сопротивление.

Ответ

\(\eta = \dfrac{3\eta_1}{7 - 3\eta_1} = 0{,}522\).

Решение

Пусть ЭДС и внутреннее сопротивление источника равны \(\varepsilon\) и \(r\), сопротивление первого резистора — \(R_1\). По закону Ома для замкнутой цепи \(I = \dfrac{\varepsilon}{R_1 + r}\), а КПД источника \[\eta_1 = \frac{R_1}{R_1 + r}.\] Аналогично для второго резистора \(\eta_2 = \dfrac{R_2}{R_2 + r}\). Отсюда \[R_1 = \frac{r\eta_1}{1 - \eta_1}, \qquad R_2 = \frac{r\eta_2}{1 - \eta_2}.\] При параллельном соединении сопротивление \[R = \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2} = \frac{r\eta_1\eta_2}{\eta_1 + \eta_2 - 2\eta_1\eta_2}.\] КПД источника с двумя параллельными резисторами \[\eta = \frac{R}{R + r} = \frac{\eta_1\eta_2}{\eta_1 + \eta_2 - \eta_1\eta_2}.\] Поскольку \(\eta_2 = \dfrac{3}{4}\eta_1\), получаем \[\eta = \frac{3\eta_1}{7 - 3\eta_1} = 0{,}522.\]

Подсказка

Когда скорость нижнего шарика максимальна, его ускорение равно нулю. Какая сила действует на него со стороны стержня в этот момент, и что тогда действует на верхний шарик?

Ответ

\(a = \dfrac{g}{2}\), направлено вертикально вниз.

Решение

Центр масс системы шариков движется вертикально вниз (нет горизонтальных внешних сил), поэтому в момент падения стержня на поверхность скорость нижнего шарика равна нулю. Значит, нижний шарик сначала разгоняется, а потом тормозит, и в какой-то момент его скорость максимальна.

Найдём этот момент через силу натяжения (сжатия) стержня. В начале движения стержень сжат и действует на нижний шарик вниз, разгоняя его (см. левый рисунок). Ближе к концу движения сила в стержне меняет направление, и нижний шарик начинает тормозить (см. правый рисунок). Значит, скорость нижнего шарика максимальна в тот момент, когда сила в стержне равна нулю.

В этот момент на верхний шарик действует только сила тяжести, поэтому его ускорение равно \(\vec g\). Нижний шарик в этот момент имеет нулевое ускорение (его скорость максимальна). Ускорение центра масс системы шариков, а значит и центра стержня, равно полусумме ускорений шариков: \[\vec a_c = \frac{m\vec a_1 + m\vec a_2}{2m} = \frac{1}{2}\vec g.\]

Подсказка

Из равновесия поршней найдите давления в отсеках, затем количества вещества в каждом отсеке. Учтите, что работы над внешними телами нет: как связана внутренняя энергия газов в конечном состоянии с начальной?

Ответ

1) \(Q_2 = \dfrac{105}{121}\,\nu RT \approx 0{,}87\,\nu RT\) (через поршень 2 в отсек, где газ был при температуре \(T\));  2) \(Q_3 = \dfrac{75}{121}\,\nu RT \approx 0{,}62\,\nu RT\) (через поршень 3 из отсека, где газ был при температуре \(3T\), в отсек с \(2T\)).

Решение

Поршни в равновесии, поэтому давления в каждом отсеке одинаковы. Объёмы отсеков тоже одинаковы, поэтому по закону Клапейрона–Менделеева \[pV = \nu_1 RT, \qquad pV = \nu_2 R\cdot 2T, \qquad pV = \nu_3 R\cdot 3T,\] откуда \(\nu_1 : \nu_2 : \nu_3 = 6 : 3 : 2\), а значит \[\nu_1 = \frac{6}{11}\nu, \qquad \nu_2 = \frac{3}{11}\nu, \qquad \nu_3 = \frac{2}{11}\nu.\] Потерь энергии нет, работы над внешними телами не совершаются, поэтому суммарная внутренняя энергия газов не меняется. Конечная температура \(T_0\) находится из \[\frac{3}{2}\nu_1 RT + \frac{3}{2}\nu_2 R\cdot 2T + \frac{3}{2}\nu_3 R\cdot 3T = \frac{3}{2}\,\nu R T_0, \qquad T_0 = \frac{18}{11}\,T.\] Внутренняя энергия газов в любой момент равна \(\dfrac{9}{2}pV\), где \(p\) — общее давление в этот момент. Так как энергия не уходит из системы, давление не меняется в ходе всего процесса, и все процессы с газами — изобарические.

Газ в первом отсеке нагревается от \(T\) до \(\dfrac{18}{11}T\) в изобарическом процессе, получая тепло только через поршень 2. Для одноатомного газа в изобарическом процессе теплота составляет \(\dfrac{5}{3}\) от изменения внутренней энергии: \[Q_2 = \frac{5}{3}\Delta U_1 = \frac{5}{3}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{6\nu}{11}R \left(\frac{18}{11}T - T\right) = \frac{105}{121}\,\nu RT \approx 0{,}87\,\nu RT.\] Газ в третьем отсеке охлаждается от \(3T\) до \(\dfrac{18}{11}T\), отдавая тепло через поршень 3: \[Q_3 = -\frac{5}{3}\Delta U_3 = -\frac{5}{3}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{2\nu}{11}R \left(\frac{18}{11}T - 3T\right) = \frac{75}{121}\,\nu RT \approx 0{,}62\,\nu RT.\]

Подсказка

После установления равновесия разность потенциалов между крайними пластинками равна нулю. Выразите заряды крайних пластинок из этого условия.

Ответ

1) заряд \(-\dfrac{q}{5}\) (верхняя пластинка получает заряд \(-q/5\));  2) \(Q = \dfrac{q^2 d}{20\,S\varepsilon_0}\).

Решение

Крайние пластинки после замыкания ключа приобретут заряды \(-Q\) и \(Q\) (см. рис.). Между средними пластинками поле \[E_1 = \frac{q - Q}{S\varepsilon_0},\] а между крайними и средними \(E_2 = \dfrac{Q}{S\varepsilon_0}\); векторы \(\vec E_1\) и \(\vec E_2\) направлены противоположно. Работа поля при переносе пробного заряда \(\delta q\) между крайними пластинками равна нулю (они соединены проводником): \[\delta q\,E_1\,\frac{d}{2} = \delta q\,E_2\cdot 2d \quad\Rightarrow\quad Q = \frac{q}{5}.\] Значит, по проводнику, соединяющему крайние пластинки, к верхней пластинке протечёт заряд \(-q/5\).

Чтобы найти количество теплоты, цепь после установления равновесия можно представить как три последовательно соединённых конденсатора с зарядами \(q/5\), \(4q/5\) и \(q/5\) (рис.), с ёмкостями \[C_в = \frac{S\varepsilon_0}{d}, \qquad C_{ср} = \frac{2S\varepsilon_0}{d}, \qquad C_н = \frac{S\varepsilon_0}{d}.\] Энергия цепи после установления равновесия \[W_к = \frac{(q/5)^2}{2C_в} + \frac{(4q/5)^2}{2C_{ср}} + \frac{(q/5)^2}{2C_н} = \frac{q^2 d}{5S\varepsilon_0}.\] Начальная энергия (до замыкания ключа) \[W_н = \frac{q^2}{2C_{ср}} = \frac{q^2 d}{4S\varepsilon_0}.\] Вся избыточная энергия выделится в тепло на резисторе, так как резистор — единственный элемент с сопротивлением: \[Q = W_н - W_к = \frac{q^2 d}{20\,S\varepsilon_0}.\]

Подсказка

Представьте ускорение каждой вершины как сумму ускорения центра квадрата и ускорения вершины относительно центра. Какие направления имеют последние для соседних вершин?

Ответ

\(a_D = \dfrac{\sqrt{7}}{4}\,a\).

Решение

Ускорение любой вершины в лабораторной системе есть сумма ускорения центра квадрата \(\vec a_c\) и ускорения этой вершины относительно центра \(\vec a_{vc}\). В системе центра вершины имеют нормальную и тангенциальную составляющие ускорения, одинаковые по величине для всех вершин и взаимно перпендикулярные. Поэтому относительные ускорения вершин A и C противоположны друг другу, и вектор \(\vec a_c\) перпендикулярен векторам \(\vec a_{Ac}\), \(\vec a_{Cc}\) (рис. 1). Относительное ускорение вершины B перпендикулярно \(\vec a_{Ac}\) и \(\vec a_{Cc}\), значит, оно параллельно (или антипараллельно) \(\vec a_c\); так как \(a_B > a_A, a_C\), векторы \(\vec a_c\) и \(\vec a_{Bc}\) параллельны (рис. 2).

Обозначим \(y = a_c\), \(x = a_{vc}\) (величина ускорения вершины относительно центра). Для вершин A и C \[a^2 = y^2 + x^2,\] а для вершины B \[\frac{5}{4}a = y + x.\] Исключая \(y\), получаем квадратное уравнение \[2x^2 - \frac{5}{2}ax + \frac{9}{16}a^2 = 0,\] корни которого \(x_{1,2} = \dfrac{(5 \pm \sqrt{7})a}{8}\), а соответствующие \(y = \dfrac{(5 \mp \sqrt{7})a}{8}\). Относительное ускорение вершины D противоположно относительному ускорению B, поэтому \[a_D = |y - x| = \frac{\sqrt{7}}{4}\,a\] для обоих наборов корней.