Росатом, 2023/24, заключительный этап, 8 класс

Подсказка

Найдите, в какой момент первый грузовик разворачивается в городе B и где в этот момент находится третий грузовик. Затем рассмотрите встречное движение двух грузовиков.

Ответ

\(t \approx 0{,}79\) ч (около 47 минут).

Решение

Первый грузовик доедет до города B за время \(t_1 = S/v = 2{,}5\) ч. К этому моменту третий грузовик уже выехал из города A (через \(2\,\Delta t = 2\) ч после первого) и проехал \(v(t_1 - 2\,\Delta t) = 20\) км. Расстояние между первым грузовиком (в городе B) и третьим равно \(S - 20 = 80\) км. Они движутся навстречу друг другу со скоростями \(v\) и \(kv\), поэтому встреча произойдёт через \[t_{встр} = \frac{2\,\Delta t\, v}{v + kv} = \frac{2\,\Delta t}{1 + k} \approx 0{,}77~\text{ч}\] после разворота. Оставшийся путь первого грузовика до города A равен \(S - kv\,t_{встр}\), и время его движения \[t = \frac{S}{kv} - \frac{2\,\Delta t}{1 + k} = \frac{100}{64} - 0{,}77 \approx 0{,}79~\text{ч}.\]

Подсказка

Тело находится в равновесии, значит силы упругости пружин равны по модулю. Сравните сумму недеформированных длин пружин с расстоянием между стенками.

Ответ

1) обе пружины растянуты: первая на \(\dfrac{3}{4}l\), вторая на \(\dfrac{1}{4}l\);  2) силы упругости \(F = \dfrac{3}{4}kl\) у каждой пружины.

Решение

Обе пружины растянуты, и поскольку тело находится в равновесии, силы упругости, действующие на него со стороны пружин, равны: \[k\,l_1 = 3k\,l_2,\] где \(l_1\) и \(l_2\) — удлинения первой (с коэффициентом жёсткости \(k\)) и второй пружин. Расстояние между стенками на \(l\) больше суммы недеформированных длин пружин, поэтому \[l_1 + l_2 = 5l - (l + 3l) = l.\] Отсюда \(l_1 = \dfrac{3}{4}l\), \(l_2 = \dfrac{1}{4}l\), а силы упругости \[F_{упр,1} = F_{упр,2} = k\,\frac{3}{4}\,l = \frac{3}{4}kl.\]

Подсказка

Найдите сопротивление исходной цепи через сопротивление одного проводника. Затем выясните, по каким узлам протекает ток в новой цепи, и воспользуйтесь симметрией.

Ответ

\(R' = \dfrac{3}{5}R\).

Решение

Исходная цепь — пять последовательно соединённых проводников сопротивлением \(r\) каждый, поэтому \(R = 5r\). После введения двух дополнительных проводников все сопротивления в цепи одинаковы. Благодаря симметрии цепи ток через центральный проводник не течёт (оба направления тока равноправны), и его можно удалить из цепи. Оставшаяся цепь сводится к последовательно-параллельному соединению, сопротивление которого равно \(R' = 3r\). Отсюда \[\frac{R'}{R} = \frac{3}{5}, \qquad R' = \frac{3}{5}R.\]

Подсказка

Запишите уравнения теплового баланса для первого нагрева, для смешивания воды в кастрюле с водой из ведра и для второго нагрева. Исключите массы воды.

Ответ

\(T_в = T_к - \Delta T\left(1 + \dfrac{t_1}{t_2}\right) = 16\,^\circ\)C.

Решение

Пусть первоначально в кастрюлю залили массу \(m\) воды, \(T_к = 100\,^\circ\)C — температура кипения, \(T_в\) — искомая температура воды в ведре, \(P\) — мощность плиты. Уравнение теплового баланса для первого нагрева: \[c\,m\,(T_к - T_в) = P\,t_1.\] При доливании массы \(\Delta m\) воды из ведра вода в кастрюле остывает на \(\Delta T\): \[c\,m\,\Delta T = c\,\Delta m\,(T_к - \Delta T - T_в).\] Во втором нагреве нагревается вся вода массы \(m + \Delta m\) на \(\Delta T\): \[P\,t_2 = c\,(m + \Delta m)\,\Delta T.\] Из первого и третьего уравнений следует \(\dfrac{m + \Delta m}{m} = \dfrac{T_к - T_в}{T_к - \Delta T - T_в}\), а из второго — \(\dfrac{t_2}{t_1} = \dfrac{(m + \Delta m)\,\Delta T}{m\,(T_к - T_в)} = \dfrac{\Delta T}{T_к - \Delta T - T_в}\). Отсюда \[T_в = T_к - \Delta T\left(1 + \frac{t_1}{t_2}\right) = 100 - 12\cdot 7 = 16\,^\circ\text{C}.\]

Подсказка

Строите область обратным образом: для каждой точки траектории суслика определите, откуда лиса может до неё добежать за то же время, что и суслик.

Решение

Строим область обратным образом. Пусть суслик бежит из норки A в норку B, и из каждой точки его траектории во все стороны бегут лисы. Если лиса бежит столько же времени, сколько суслик бежал до рассматриваемой точки от норки A, то её положения определяют границы области, из которой лиса может поймать суслика в этой точке. Пересечение таких областей даёт всю область, из которой лиса может поймать суслика хотя бы в одной точке траектории.

Для точки C траектории суслик бежал время \(t\) со скоростью \(u\), так что \(AC = ut\). Лиса за то же время пробегает \(ut/3 = AC/3\). Поэтому область, откуда лиса может поймать суслика в точке C, — окружность с центром C и радиусом \(AC/3\). Вся область, из которой лиса может поймать суслика, — объединение таких окружностей для точек C на отрезке AB.

Касательные ко всем этим окружностям образуют один и тот же угол с отрезком AB: если провести радиусы в точки касания, то прямоугольные треугольники с гипотенузами AC (катет \(AC/3\)) подобны. Поэтому граница области состоит из двух касательных AP и AQ, проведённых из точки A к окружности радиуса \(d/3\) с центром в точке B, и дуги PZQ этой окружности по дальнюю от A сторону.

Параметры области. Угол при вершине A между касательными равен \(\angle PAQ = 2\arcsin\dfrac{1}{3} \approx 39^\circ\). Радиус окружности с центром B равен \(\dfrac{d}{3}\). Поскольку \(BP = \dfrac{d}{3}\) и \(AB = d\), имеем \(\cos\angle ABP = \dfrac{1}{3}\), так что четырёхугольник APBQ имеет угол при B, равный \(2\arccos\dfrac{1}{3} \approx 141^\circ\). К нему примыкает сектор окружности радиуса \(d/3\) с центром B, ограниченный радиусами BP, BQ и дугой PZQ с центральным углом \(2\pi - 2\arccos\dfrac{1}{3} \approx 219^\circ\). Область — объединение четырёхугольника APBQ и этого сектора.