Росатом, 2024/25, отборочный этап, 8 класс

Выразите массу листа через поверхностную и через объёмную плотность.

\(d = \dfrac{\sigma}{\rho} = 0{,}1\) мм.

Поверхностная плотность — отношение массы листа к его площади: \(\sigma = \dfrac{m}{S}\). Объёмная плотность — отношение массы к объёму: \(\rho = \dfrac{m}{V}\), где \(V = Sd\). Тогда \(m = \rho S d\) и \(\sigma = \rho d\), откуда \[d = \frac{\sigma}{\rho} = \frac{0{,}08~\text{кг/м}^2}{800~\text{кг/м}^3} = 10^{-4}~\text{м} = 0{,}1~\text{мм}.\]

Массовая концентрация — отношение массы кислоты ко всей массе раствора. Запишите среднюю плотность раствора как отношение суммы масс к сумме объёмов.

\(C = \dfrac{2(\rho - \rho_в)}{\rho} = 0{,}33 = 33\%\).

Пусть \(m\) — масса кислоты, \(M\) — масса воды. Массовая концентрация \(C = \dfrac{m}{m + M}\). Плотность раствора \[\rho = \frac{m + M}{\dfrac{m}{2\rho_в} + \dfrac{M}{\rho_в}} = \frac{(m + M)\,2\rho_в}{m + 2M}.\] Отсюда масса воды \(M = \dfrac{m\,(2\rho_в - \rho)}{2(\rho - \rho_в)}\). Подставляя в определение концентрации, получаем \[C = \frac{m}{m + M} = \frac{2(\rho - \rho_в)}{\rho} = \frac{2\cdot 0{,}2}{1{,}2} \approx 0{,}33 = 33\%.\]

Длина поезда равна разности путей, которые проходят электричка и поезд за время обгона. При движении навстречу пути складываются.

\(u = \dfrac{5}{7}v = 50\) км/ч; \(l \approx 333\) м.

Пусть длина товарного поезда \(l\), а его скорость \(u\). При обгоне в одном направлении электричка относительно поезда движется со скоростью \(v - u\), и за время \(\Delta t_1\) проходит относительно него длину поезда: \[l = (v - u)\,\Delta t_1.\] При движении навстречу относительная скорость равна \(v + u\), и \[l = (v + u)\,\Delta t_2 = (v + u)\,\frac{\Delta t_1}{6}.\] Приравнивая два выражения, получаем \(6(v - u) = v + u\), откуда \(u = \dfrac{5}{7}v = 50\) км/ч. Длина поезда \[l = (v - u)\,\Delta t_1 = 20~\text{км/ч}\cdot 60~\text{с} = \frac{20}{3{,}6}\cdot 60~\text{м} \approx 333~\text{м}.\]

Вспомните, что в первом нагревании нагревались и вода, и чайник; во втором чайник уже горячий.

\(T_x = \dfrac{3T_0 + T_к}{4} = 40\,^\circ\)C, где \(T_к = 100\,^\circ\)C.

Пусть теплоёмкости воды и чайника равны \(C_1\) и \(C_2\), мощность нагревателя — \(P\), температура кипения \(T_к = 100\,^\circ\)C. В первом случае нагревались вода и чайник от \(T_0\) до \(T_к\): \[P t_1 = (C_1 + C_2)(T_к - T_0).\] Во втором случае после выливания кипятка чайник имеет температуру \(T_к\) и отдаёт тепло налитой воде. Установившаяся температура \(T_x\) находится из теплового баланса \[C_1 (T_x - T_0) = C_2 (T_к - T_x).\] Далее при нагревании от \(T_x\) до \(T_к\) нагреваются вода и чайник: \[P\cdot\frac{3t_1}{4} = (C_1 + C_2)(T_к - T_x).\] Деля это равенство на первое, получаем \(T_к - T_x = \dfrac{3}{4}(T_к - T_0)\), откуда \[T_x = \frac{3T_0 + T_к}{4} = \frac{60 + 100}{4}\,^\circ\text{C} = 40\,^\circ\text{C}.\]

Условие равновесия груза: давление под поршнем уравновешивает давление от груза; учтите, что объём жидкости при перетекании сохраняется.

\(\Delta h_{\text{прав}} = \dfrac{\Delta h}{16}\).

Пусть груз массой \(m\) лежит на левом поршне. Он опускается на \(h\), а правый поднимается на \(x\). Из сохранения объёма жидкости \(hS = 4S\,x\), т.е. \(x = \dfrac{h}{4}\). Равновесие груза: разность давлений жидкости под поршнями уравновешивает давление груза, \[\frac{mg}{S} = \rho g\,(h + x) = \frac{5}{4}\rho g h \quad\Rightarrow\quad h = \frac{4m}{5\rho S} = \Delta h.\] Если груз переложить на правый поршень, он опустится на \(h_1\), а левый поднимется на \(x_1 = 4h_1\) (так как \(4S\,h_1 = S\,x_1\)). Равновесие: \[\frac{mg}{4S} = \rho g\,(h_1 + x_1) = 5\rho g h_1 \quad\Rightarrow\quad h_1 = \frac{m}{20\rho S}.\] Сравнивая, получаем \[\frac{h_1}{\Delta h} = \frac{m/(20\rho S)}{4m/(5\rho S)} = \frac{1}{16},\] то есть правый поршень опустится на \(\dfrac{\Delta h}{16}\).