Росатом, 2024/25, отборочный этап, 8 класс

Запишите уравнение теплового баланса для всех четырёх порций, считая, что смесь имеет искомую температуру.

\(t_{\text{см}} = \dfrac{230}{6}\,^\circ\text{C} \approx 38{,}3\,^\circ\)C.

Пусть искомая температура смеси \(x\). Порции воды получают (или отдают) количество теплоты \(Q_i = c\,m_i\,(x - t_i)\), где \(m_i\) и \(t_i\) — масса и начальная температура порции. Какие-то из \(Q_i\) отрицательны. Так как сосуд теплоизолирован, уравнение теплового баланса \[\sum_i c\,m_i\,(x - t_i) = 0\] даёт (массы выражены в единицах \(m\)) \(12\,x = 1\cdot 10 + 2\cdot 20 + 4\cdot 40 + 5\cdot 50 = 460\), то есть \(x = \dfrac{460}{12} = \dfrac{230}{6} \approx 38{,}3\,^\circ\)C.

При вытягивании объём проволоки не меняется. Как изменится площадь её сечения?

\(R_1 = n^2 R \approx 45{,}1\) Ом.

Масса и объём проволоки при вытягивании не меняются. Приравнивая объёмы старой и новой проволоки, \(lS = nl\,S_1\), получаем \(S_1 = \dfrac{S}{n}\), где \(l\) и \(S\) — длина и площадь сечения старой проволоки, \(nl\) и \(S_1\) — новой. Сопротивление \[R_1 = \rho_{\text{уд}}\,\frac{nl}{S_1} = \rho_{\text{уд}}\,\frac{n^2 l}{S} = n^2 R = 1{,}4^2 \cdot 23~\text{Ом} \approx 45{,}1~\text{Ом}.\]

Пружины невесомы, поэтому силы упругости в них в любой момент одинаковы.

\(u = \dfrac{v}{3}\), направлена в сторону более жёсткой пружины (с жёсткостью \(2k\)).

Так как пружины невесомы, сумма внешних сил, действующих на любой элемент пружин, равна нулю. В частности, на мысленно выделенный кусочек двух пружин, содержащий точку их соединения, сумма сил равна нулю. Поэтому силы упругости в пружинах одинаковы в любой момент времени. Значит, удлинение пружины с жёсткостью \(k\) вдвое больше удлинения пружины с жёсткостью \(2k\). Поэтому точка соединения движется в сторону более жёсткой пружины: если бы она стояла на месте, удлинения были бы одинаковы, а у жёсткой пружины удлинение меньше.

Пусть перемещение точки соединения за время \(t\) равно \(x\). Тогда удлинение пружины \(k\) равно \(vt + x\), а пружины \(2k\) — \(vt - x\). Из условия \(vt + x = 2(vt - x)\) находим \(x = \dfrac{vt}{3}\), поэтому скорость точки соединения \(u = \dfrac{x}{t} = \dfrac{v}{3}\).

Условие равновесия блока — сумма сил, действующих на него, равна нулю. Сила натяжения нити, охватывающей блок массой \(m\), равна половине его веса.

\(m_1 = \dfrac{m}{2}\); показания безмена — \(3m\).

Чтобы блок массой \(m\) был в равновесии, сила натяжения \(T\) нити, охватывающей этот блок, должна быть равна половине силы тяжести: \(2T = mg\), т.е. \(T = \dfrac{mg}{2}\).

На блок массой \(m_1\) действуют сила тяжести \(m_1 g\) и сила \(T\) со стороны нити, прикреплённой к его оси (вниз), и две силы \(T\), направленные вверх. Условие равновесия \(m_1 g + T = 2T\) даёт \(m_1 g = T = \dfrac{mg}{2}\), откуда \(m_1 = \dfrac{m}{2}\).

Сила натяжения нити, действующая на безмен, равна силам, с которыми нити тянут верхний блок вниз. На него действуют сила тяжести \(2mg\) и две силы \(T\), направленные вниз, так что \(2mg + 2T = 3mg\). Поэтому показания безмена составят \(3m\).

Пути, которые тела прошли до встречи, равны путям, которые они проходят после встречи, и связаны со скоростями, а значит, и с временами.

\(t = \sqrt{t_1 t_2}\).

Пусть до встречи первое тело прошло путь \(l_1\), второе — \(l_2\), время до встречи \(t\), скорости \(v_1\) и \(v_2\). Тогда \(l_1 = v_1 t\), \(l_2 = v_2 t\). После встречи первое тело проходит оставшийся путь \(l_2\) за время \(t_1\), второе — путь \(l_1\) за время \(t_2\): \(l_2 = v_1 t_1\), \(l_1 = v_2 t_2\). Перемножая пары равенств, получаем \[v_1 v_2\, t^2 = v_1 v_2\, t_1 t_2 \quad\Rightarrow\quad t = \sqrt{t_1 t_2}.\]