Росатом, 2024/25, заключительный этап, 7 класс

За каждое полугодие распадается одна и та же доля от атомов, имевшихся в начале этого полугодия. Удобно вести подсчёт, начиная с \(N\) атомов в начале наблюдения.

За полтора года распадётся \(0{,}488\) первоначального количества; за четвёртый полугодовой интервал — \(0{,}1024\); через 2 года останется \(0{,}4096\).

Пусть изначально образец содержит \(N\) атомов. За первое полугодие распадается \(0{,}2N\), остаётся \(0{,}8N\). Во втором полугодии распадается \(0{,}2\cdot 0{,}8N = 0{,}16N\), остаётся \(0{,}64N\). В третьем полугодии распадается \(0{,}2\cdot 0{,}64N = 0{,}128N\). Поэтому за полтора года распадается \[0{,}2N + 0{,}16N + 0{,}128N = 0{,}488N,\] то есть \(0{,}488\) от первоначального количества атомов.

В начале четвёртого полугодия остаётся \(0{,}512N\). За четвёртое полугодие распадается \(0{,}2\cdot 0{,}512N = 0{,}1024N\). Через два года в образце останется \(0{,}512N - 0{,}1024N = 0{,}4096N\) атомов, то есть \(0{,}4096\) от первоначального количества.

Какой объём воды вытесняет камень и что произойдёт с этой водой? Сравните изменение показаний динамометра с весом воды в объёме камня.

\(F = 18\) Н.

Пусть объём камня \(V\). Когда камень опускают в ведёрко, из него выливается объём воды \(V\), который занимал камень. Масса ведёрка с содержимым увеличивается на \(\Delta m = \rho_1 V - \rho_0 V\), где \(\rho_1\) — плотность камня, \(\rho_0\) — плотность воды. Отсюда \[F_2 - F_1 = (\rho_1 - \rho_0)Vg = 2\rho_0 Vg = 4~\text{Н}, \qquad \rho_0 V g = 2~\text{Н}.\] При вытаскивании камня в ведёрке остаётся масса воды, меньшая первоначальной на вес воды в объёме камня, поэтому показание динамометра \[F = F_1 - \rho_0 V g = 20~\text{Н} - 2~\text{Н} = 18~\text{Н}.\]

Средняя скорость на всём пути — это весь путь, делённый на всё время. Чтобы найти среднюю скорость за половину времени, сначала определите, на каком участке машина окажется в середине времени движения.

\(v_{\text{ср}} = \dfrac{12}{11}v \approx 54{,}5\) км/ч; за первую половину времени \(v_{\text{ср},1} = v = 50\) км/ч; за вторую половину времени \(v_{\text{ср},2} = \dfrac{13}{11}v \approx 59{,}1\) км/ч.

Пусть длина участка АС равна \(3l\), тогда СВ равен \(l\), а весь путь АВ — \(4l\). Время движения по АС: \(t_{AC} = \dfrac{3l}{v}\), по СВ: \(t_{CB} = \dfrac{l}{3v/2} = \dfrac{2l}{3v}\). Полное время \[t_{AB} = \frac{3l}{v} + \frac{2l}{3v} = \frac{11l}{3v}.\] Средняя скорость на всём пути \[v_{\text{ср}} = \frac{4l}{t_{AB}} = \frac{12}{11}v \approx 54{,}5~\text{км/ч}.\]

Половина полного времени \(t_{AB}/2 = \dfrac{11l}{6v}\). За это время машина пройдёт путь \(v\cdot\dfrac{11l}{6v} = \dfrac{11l}{6}\), что меньше \(3l\), то есть середина времени приходится на участок АС. Поэтому средняя скорость за первую половину времени равна \(v = 50\) км/ч.

За вторую половину времени машина проходит путь \(4l - \dfrac{11l}{6} = \dfrac{13l}{6}\) за время \(\dfrac{11l}{6v}\), поэтому \[v_{\text{ср},2} = \frac{13l/6}{11l/(6v)} = \frac{13}{11}v \approx 59{,}1~\text{км/ч}.\]

Когда в стенках цилиндра будет одно отверстие? Сравните время полёта пули через цилиндр с периодом вращения цилиндра.

Да, возможна; \(v = \dfrac{2d}{(2n+1)T}\), \(n = 0, 1, 2, \ldots\) (при \(n = 0\) — \(v = \dfrac{2d}{T}\)).

Да, такая ситуация возможна, если за время, за которое цилиндр совершит половину оборота, пуля пройдёт вдоль всего диаметра и попадёт в ту же пробоину, которую сделала при входе. Тогда \(\dfrac{d}{v} = \dfrac{T}{2}\), то есть \(v = \dfrac{2d}{T}\).

Это не единственная возможность: за время полёта внутри цилиндра он может совершить полтора, два с половиной, три с половиной и т.д. оборотов. Условие существования одного отверстия: \[\frac{d}{v} = \frac{T}{2} + nT,\] где \(n\) — любое целое неотрицательное число. Отсюда \[v = \frac{2d}{(2n+1)T}, \qquad n = 0, 1, 2, \ldots\]

Жёсткость шнура обратно пропорциональна его длине. Как соединяются жёсткости при последовательном и параллельном соединении?

\(v_{A} = \dfrac{8}{9}v\); жёсткость комбинированного шнура \(k_0 = \dfrac{4}{3}k\).

Жёсткость шнура обратно пропорциональна его длине: при приложении одной и той же силы к каждой части шнура удлинение пропорционально длине части. Поэтому жёсткость двух третей шнура равна \(\dfrac{3}{2}k\), одной шестой — \(6k\).

Две параллельные части по \(6k\) каждая дают жёсткость \(12k\). Последовательное соединение жёсткостей \(\dfrac{3}{2}k\) и \(12k\) даёт общую жёсткость \[\frac{1}{k_0} = \frac{1}{\tfrac{3}{2}k} + \frac{1}{12k} = \frac{3}{4k} \quad\Rightarrow\quad k_0 = \frac{4}{3}k .\]

Пусть конец комбинированного шнура переместился на \(x\), точка А — на \(x_1\). Тогда удлинение двух третей первоначального шнура составит \(x_1\), а удлинение каждой из двух параллельных частей — \(x - x_1\). Силы упругости в первом и втором участках одинаковы, поэтому \[\frac{3}{2}k\,x_1 = 12k\,(x - x_1)\quad\Rightarrow\quad x_1 = \frac{8}{9}x .\] Значит, скорость точки А составляет \(\dfrac{8}{9}\) от скорости конца шнура: \[v_A = \frac{8}{9}v .\]