Росатом, 2025/26, отборочный этап, 10 класс

Запишите условия плавания тела в первой и второй жидкостях и найдите плотности жидкостей через плотность тела; затем используйте условие плавания в жидкости с плотностью, равной полусумме.

\(r = \dfrac{2nk}{n+k} = \dfrac{2}{7}\).

Пусть масса тела \(m\), объём \(V\), плотности первой и второй жидкости \(\rho_1\) и \(\rho_2\). Условия плавания тела в первой и второй жидкостях дают \[mg = \rho_1 g nV, \qquad mg = \rho_2 g kV .\] Отсюда находим плотности жидкостей \[\rho_1 = \frac{m}{nV}, \qquad \rho_2 = \frac{m}{kV}.\] Условие плавания того же тела в жидкости, плотность которой равна среднему арифметическому \(\dfrac{\rho_1+\rho_2}{2}\): \[mg = \frac{\rho_1+\rho_2}{2}\, g\, rV ,\] где \(r\) — доля объёма, погружённая в жидкость в этом случае. Подставляя плотности, получим \[r = \frac{2nk}{n+k} = \frac{2}{7}.\]

Если бы сопротивления всех резисторов совпадали, токи через амперметры были бы равны; значит, одинаковыми являются либо резисторы 2 и 3, либо резисторы 1 и 2.

1) \(r_2 = r_3 = \dfrac{r}{3}\);  2) \(r_2 = r\), \(r_3 = \dfrac{r}{2}\).

Если бы сопротивления крайних резисторов совпадали, токи через амперметры были бы одинаковыми. Поэтому есть две возможности: либо равны сопротивления второго и третьего резисторов \(r_2 = r_3\) (а первое отличается от них), либо равны сопротивления первого и второго резисторов \(r_1 = r_2\) (а третье отличается).

Амперметры имеют нулевое сопротивление, поэтому резисторы включены параллельно источнику; амперметр \(A_1\) измеряет ток через второй и третий резисторы, амперметр \(A_2\) — ток через первый и второй. Пусть \(i_1\), \(i_2\) и \(i_3\) — токи через первый, второй и третий резисторы. Тогда \[i_2 + i_3 = I_1 = I, \qquad i_1 + i_2 = I_2 = \frac{2I}{3} .\] В первом случае \(r_2 = r_3\) (и \(i_2 = i_3\)), откуда \(i_2 = i_3 = I/2\), \(i_1 = I/6\). Поэтому сопротивления второго и третьего резисторов втрое меньше сопротивления первого: \[r_2 = r_3 = \frac{r}{3}.\] Во втором случае \(r_1 = r_2\), откуда \(i_1 = i_2 = I/3\), \(i_3 = 2I/3\). Сопротивление третьего резистора вдвое меньше сопротивления первого и второго: \[r_2 = r, \qquad r_3 = \frac{r}{2}.\] Таким образом, с данными условия совместимы два решения.

Исключите давление из уравнения Клапейрона—Менделеева с помощью связи \(V \propto p^2\).

Объём увеличился в 4 раза.

Параметры газа связаны законом Клапейрона—Менделеева \[pV = \nu RT ,\] где \(p\) — давление газа, \(V\) — его объём, \(\nu\) — количество вещества, \(R\) — универсальная газовая постоянная, \(T\) — абсолютная температура. В рассматриваемом процессе объём пропорционален квадрату давления, поэтому \[p = \alpha\sqrt{V},\] где \(\alpha\) — некоторое число. Подставляя это в закон Клапейрона—Менделеева, получим \[\alpha V^{3/2} = \nu R T \quad\Rightarrow\quad V = \left(\frac{\nu R}{\alpha}\,T\right)^{2/3} .\] Отсюда следует, что при восьмикратном возрастании температуры объём газа увеличится в \(8^{2/3} = 4\) раза.

Нить нерастяжима, поэтому проекции ускорений тел на нить одинаковы; запишите второй закон Ньютона для большего тела по вертикали и для меньшего — вдоль нити.

\(a_{2m} = \dfrac{g\,(2-\cos\alpha)}{3}\);  \(a_m = \dfrac{g}{3}\sqrt{9\sin^2\alpha + (2-\cos\alpha)^2}\).

На тела действуют силы тяжести и силы натяжения нити (см. рисунок). Второй закон Ньютона для тел: \[2m\vec a_1 = \vec T + 2m\vec g, \qquad m\vec a_2 = \vec T' + m\vec g .\] Нить нерастяжима, а тела в начальный момент покоились, поэтому проекции их ускорений на нить одинаковы. Ускорение тела массой \(2m\) и проекция ускорения тела массой \(m\) на нить одинаковы. Поэтому проекция второго закона Ньютона для тела массой \(2m\) на вертикальную ось и для тела массой \(m\) на ось вдоль нити дают \[2ma = 2mg - T, \qquad ma = T - mg\cos\alpha .\] Решая эту систему, получим \[a = \frac{g\,(2-\cos\alpha)}{3}, \qquad T = \frac{2}{3}\,mg\,(1+\cos\alpha) .\] У тела массой \(m\) отлична от нуля и проекция ускорения на ось, перпендикулярную нити: \(a_\perp = g\sin\alpha\). Полное ускорение тела массой \(m\) \[a_m = \sqrt{(g\sin\alpha)^2 + a^2} = \frac{g}{3}\sqrt{9\sin^2\alpha + (2-\cos\alpha)^2}.\]

Записывайте условие моментов для каждого стержня (или группы нижних стержней) относительно шарнира, начиная с первого, и смотрите, как меняется коэффициент при силе тяжести.

\(\operatorname{tg}\alpha_{2025} = \dfrac{2F}{4049\,mg}\).

На первый стержень действуют сила тяжести, внешняя сила \(F\) и сила реакции шарнира. Условие моментов относительно шарнира даёт \[mg\,\frac{l}{2}\sin\alpha_1 = Fl\cos\alpha_1,\] где \(l\) — длина стержня, \(\alpha_1\) — угол между первым стержнем и вертикалью. Отсюда \[\operatorname{tg}\alpha_1 = \frac{2F}{mg}.\] Рассмотрим условие равновесия двух нижних стержней. Внешние силы на них — две силы тяжести, сила реакции второго шарнира и сила \(F\). Условие моментов относительно второго шарнира содержит плечо силы \(F\), большее плеча относительно первого шарнира на \(l\cos\alpha_2\), и плечи сил тяжести, большие на \(\dfrac{l}{2}\sin\alpha_2\) и \(l\sin\alpha_2\) соответственно. Первые слагаемые при этом совпадают с условием равновесия первого стержня, и в итоге остаётся \[\operatorname{tg}\alpha_2 = \frac{2F}{3mg}.\] Далее в знаменателе появляется нечётное число \(2k-1\), где \(k\) — номер стержня, угол наклона которого исследуется. Поэтому для 2025-го стержня \[\operatorname{tg}\alpha_{2025} = \frac{2F}{4049\,mg} .\]