Росатом, 2025/26, отборочный этап, 11 класс

Минимальная сила равна дополнительной силе Архимеда при полном погружении тела. Сначала найдите полный объём тела из условия плавания.

\(F_{\min} = \dfrac{\rho_0(\rho_0-\rho)}{\rho}\,gV_0 \approx 5{,}3\) Н.

Минимальная сила равна дополнительной силе Архимеда, возникающей при погружении тела в жидкость: \(F_{\min} = \rho_0 g V_{над}\), где \(V_{над}\) — объём части тела, которая при свободном плавании находится над водой. Он равен разности полного объёма тела \(V\) и объёма погружённой части \(V_0\): \(V_{над} = V - V_0\). Объём тела найдём из условия плавания: \(mg = \rho g V = \rho_0 g V_0\), откуда \(V = \dfrac{\rho_0}{\rho}V_0\). Тогда \[F_{\min} = \rho_0 g\left(\frac{\rho_0}{\rho}V_0 - V_0\right) = \frac{\rho_0(\rho_0-\rho)}{\rho}\,gV_0 \approx 5{,}3~\text{Н}.\]

Есть ли ток через средний резистор? Сравните показания вольтметров с напряжением источника: совпадают ли они с тем, что дали бы идеальные приборы?

\(U' = \dfrac{2}{5}U_0 = 2{,}4\) В.

Очевидно, вольтметры неидеальные: если бы они были идеальными, ток тёк бы только через резисторы, на каждом было бы одинаковое напряжение, и каждый вольтметр показывал бы \(\frac{2}{3}U_0\). А они показывают половину. Кроме того, из данных условия следует, что ток через центральный резистор не течёт: вольтметры \(V_1\) и \(V_2\) показывают половину напряжения источника, значит, потенциалы концов центрального резистора одинаковы. Поэтому его можно выбросить. К источнику параллельно подключены два участка, каждый содержит резистор и вольтметр. Так как показания вольтметра \(3\) В, напряжение на резисторе тоже \(3\) В, значит, сопротивления резисторов и вольтметров одинаковы; обозначим их \(R\).

При выбрасывании одного вольтметра сопротивление участка между узлами 1 и 2 равно \(\frac{2}{3}R\) (резистор \(R\) параллельно последовательной паре \(R + R\)). Поэтому напряжение на участке 1–2 составляет \(\frac{2}{5}\) от напряжения источника. Вольтметр показывает напряжение на самом себе: \[U' = \frac{2}{5}U_0 = 2{,}4~\text{В}.\]

После заземления потенциал внутренней сферы равен нулю, но её заряд при этом меняется. Потенциал внутренней сферы складывается из вкладов обеих сфер.

Да, по проводнику в направлении внутренней сферы протечёт заряд \(\Delta q = -\dfrac{Q}{2}\), то есть заряд \(\dfrac{Q}{2}\) уйдёт с внутренней сферы на Землю.

Пусть после установления равновесия заряд внутренней сферы равен \(q\). Её потенциал равен нулю и по принципу суперпозиции складывается из потенциалов внешней и внутренней сфер: \[\varphi_{внут} = \frac{k(-Q)}{2R} + \frac{kq}{R} = 0,\] где \(k\) — постоянная закона Кулона. Отсюда \(q = \dfrac{Q}{2}\). Заряд, протекший по заземляющему проводнику в направлении внутренней сферы, равен разности её конечного и начального зарядов: \[\Delta q = \frac{Q}{2} - Q = -\frac{Q}{2}.\]

Тело разгоняется силой трения, доска тормозится. Найдите ускорения обоих тел и условие, при котором к моменту выравнивания скоростей тело проходит относительно доски её длину.

\(v_{\min} = \sqrt{\dfrac{5}{2}\,\mu g l}\).

Сила трения между телом и доской \(F_{тр} = \mu N = \mu m g\). Второй закон Ньютона для тела и доски в проекциях на ось \(x\), направленную по движению доски: \[m a_1 = F_{тр}, \qquad -4m a_2 = -F_{тр},\] где \(a_1\) и \(a_2\) — модули ускорений тела и доски. Отсюда \(a_1 = \mu g\), \(a_2 = \dfrac{\mu g}{4}\). Оба движения равноускоренные. Скорости тела и доски сравняются в момент \[t_1 = \frac{v}{a_1 + a_2}.\] Минимальная скорость доски соответствует случаю, когда к этому моменту тело оказывается на другом конце доски, т.е. относительное перемещение равно длине доски: \[v t_1 - \frac{a_1 t_1^2}{2} - \frac{a_2 t_1^2}{2} = l.\] Отсюда \(v^2 = 2l(a_1 + a_2)\). Подставляя ускорения, получаем \[v = \sqrt{\frac{5}{2}\,\mu g l}.\]

Запишите баланс тепла для тонкого сферического слоя: поток тепла через его поверхность равен мощности тепловыделения внутри слоя.

\(T = T_0 + \dfrac{wR^2}{6\lambda}\).

Разобьём шар на тонкие сферические слои. В условиях равновесия поток тепла через каждый слой равен мощности тепловыделения внутри него. Если через единицу площади слоя радиуса \(r\) толщиной \(\Delta r\) проходит поток тепла \(q\), то поток через всю поверхность слоя равен \(4\pi r^2 q\). Внутри слоя в единицу времени выделяется \(\frac{4}{3}\pi r^3 w\). Поэтому \[4\pi r^2 q = \frac{4}{3}\pi r^3 w \quad\Rightarrow\quad q = \frac{1}{3} r w.\] Используя закон Фурье, получим \[\lambda\frac{\Delta t}{\Delta r} = \frac{1}{3} r w \quad\Rightarrow\quad \Delta t = \frac{w}{3\lambda}\, r\,\Delta r.\] Суммируя разности температур по всем слоям от центра до поверхности, \(\sum r_i \Delta r_i = \dfrac{R^2}{2}\), получаем \(T = T_0 + \dfrac{wR^2}{6\lambda}\).