Росатом, 2025/26, заключительный этап, 9 класс

Сопротивление стороны восьмиугольника обозначьте за \(r_0\) и найдите общее сопротивление цепи в обоих случаях. Затем сравните мощности при одинаковом напряжении.

\(P_2 = \dfrac{12}{7}\,P_1\).

Пусть сопротивление одной стороны восьмиугольника равно \(r_0\). Тогда сопротивление \(R_1\) восьмиугольника при подключении его через одну вершину можно найти по правилам параллельного соединения двух резисторов (сопротивления \(2r_0\) и \(6r_0\)): \[R_1 = \frac{2r_0\cdot 6r_0}{8r_0} = \frac{3}{2}\,r_0 .\] Аналогично находим сопротивление восьмиугольника при его включении в цепь соседними вершинами (сопротивления \(r_0\) и \(7r_0\)): \[R_2 = \frac{r_0\cdot 7r_0}{8r_0} = \frac{7}{8}\,r_0 .\] При подключении к восьмиугольнику напряжения \(U\) в первом и во втором случаях по закону Джоуля–Ленца выделяются мощности \[P_1 = \frac{U^2}{R_1} = \frac{8U^2}{12\,r_0}, \qquad P_2 = \frac{U^2}{R_2} = \frac{8U^2}{7\,r_0} .\] Деля эти формулы друг на друга, получаем \[\frac{P_2}{P_1} = \frac{12}{7} ,\] откуда \(P_2 = \dfrac{12}{7}\,P_1\).

Нить свободна только вдоль своей длины: если куб смещается к стенке на \(x\), тело опускается на \(x\). Запишите второй закон Ньютона для куба, для тела по горизонтали и по вертикали.

\(a_{куба} = \dfrac{g}{6}\), направлено горизонтально к стенке; \(a_{тела} = \dfrac{\sqrt{2}}{6}\,g\), направлено под углом \(45^\circ\) вниз к горизонту.

Благодаря силе тяжести нить будет натянута и действовать на куб через блок. Суммарная сила, действующая на блок со стороны охватывающей его натянутой нити, равна сумме двух сил натяжения, поэтому на куб со стороны нити в горизонтальном направлении, к стенке, действует сила натяжения \(T\). Кроме того, поскольку куб касается тела, на куб со стороны тела действует сила реакции \(N\) в горизонтальном направлении. Поэтому второй закон Ньютона для куба в проекции на горизонтальную ось, направленную к стенке, даёт \[4m\,a = T - N ,\] где \(a\) — ускорение куба. На тело в вертикальном направлении действуют сила тяжести и сила натяжения нити. Поэтому второй закон Ньютона для тела в проекции на вертикальную ось даёт \[m\,a = mg - T ,\] где проекция ускорения тела на вертикальное направление тоже равна \(a\): если куб смещается к стенке на \(x\), ровно столько нити освободится, и на такую же величину вниз опустится тело. Второй закон Ньютона для тела в проекции на горизонтальную ось имеет вид \[m\,a = N ,\] поскольку горизонтальное ускорение тела равно ускорению куба.

Складывая уравнения, находим \[a = \frac{g}{6} .\] Таким образом, ускорение куба равно \(\dfrac{g}{6}\) и направлено горизонтально к стенке. Ускорение тела направлено под углом \(45^\circ\) вниз к горизонту и равно по величине \[a_{тела} = \sqrt{a^2 + a^2} = \frac{\sqrt{2}}{6}\,g .\]

Запишите уравнение теплового баланса воды в резервуаре в стационарном режиме: приток тепла с водой равен потерям в комнату, которые пропорциональны разности температур воды в резервуаре и комнаты.

\(t_х = t_0 + \dfrac{(t_3 - t_0)(t_2 - t_0)}{t_1 - t_0} = 60^\circ\text{C}\).

Поскольку в резервуар втекает и вытекает одинаковое количество воды с разной температурой, а температура воды в резервуаре не меняется, есть потери тепла из резервуара. Так как скорость теплообмена пропорциональна разности температур между резервуаром и окружающей средой, уравнение теплового баланса для воды в резервуаре в единицу времени даёт \[c\mu\,(t_1 - t_2) = k\,(t_2 - t_0) ,\] где \(c\) — удельная теплоёмкость воды, \(\mu\) — расход воды (количество воды, втекающее и вытекающее из резервуара в единицу времени), \(t_1\) — температура воды, втекающей в резервуар, \(t_2\) — температура воды в резервуаре (и вытекающей из него), \(t_0\) — температура в комнате, \(k\) — коэффициент пропорциональности между скоростью теплопотерь и разностью температур между резервуаром и комнатой. Поскольку \(k\) зависит от площади резервуара и его теплоизоляции, но не зависит от температуры воды в нём, уравнение теплового баланса для случая, когда наливаем в резервуар воду с температурой \(t_3\), даёт \[c\mu\,(t_3 - t_х) = k\,(t_х - t_0) ,\] где \(t_х\) — искомая температура воды в резервуаре во втором случае. Деля эти уравнения друг на друга, получим \[\frac{t_1 - t_2}{t_3 - t_х} = \frac{t_2 - t_0}{t_х - t_0} .\] Решая это уравнение, найдём \[t_х = t_0 + \frac{(t_3 - t_0)(t_2 - t_0)}{t_1 - t_0} = 60^\circ\text{C} .\]

Рычаг безмассовый, поэтому суммарный момент сил на него равен нулю. Из этого условия найдите связь сил, действующих на тела, а из связи движения концов рычага — связь их ускорений.

\(a_1 = \dfrac{g}{7}\) (тело \(3m\) движется вниз); \(a_2 = \dfrac{2g}{7}\) (тело \(m\) движется вверх); сила реакции опоры \(N = \dfrac{27}{7}\,mg\).

На тела действуют силы тяжести и силы реакции рычага, которые в первый момент после отпускания направлены вертикально вверх. Тяжёлое тело \(3m\) находится на коротком плече (длина \(l\)), лёгкое тело \(m\) — на длинном (длина \(2l\)). Поэтому рычаг будет вращаться так, что левое тело опускается, а правое поднимается. Пусть \(N_1\) — сила, с которой рычаг действует на тело \(3m\), \(N_2\) — на тело \(m\). Второй закон Ньютона для тел в проекции на вертикальную ось (вниз для тела \(3m\), вверх для тела \(m\)) даёт \[3m\,a_1 = 3mg - N_1, \qquad m\,a_2 = N_2 - mg ,\] где \(a_1\) и \(a_2\) — модули ускорений тел.

Условие равновесия безмассового рычага, то есть равенство нулю суммы моментов всех сил, действующих на него, даёт \[N_1\,l = N_2\,2l \quad\Rightarrow\quad N_1 = 2N_2 .\] Пусть сразу после отпускания тело \(3m\) опустится на расстояние \(\Delta x\). Тогда тело \(m\) (из-за того, что его плечо в 2 раза больше) поднимется на \(2\Delta x\). Поэтому скорость лёгкого тела в любой момент в 2 раза больше скорости тяжёлого и связь ускорений \[a_2 = 2a_1 .\] С учётом этих условий систему уравнений можно решить: \[a_1 = \frac{g}{7}, \qquad a_2 = \frac{2g}{7}, \qquad N_1 = \frac{18}{7}\,mg, \qquad N_2 = \frac{9}{7}\,mg .\] Силу реакции опоры рычага \(N\) можно найти так: поскольку рычаг безмассовый, сумма сил, действующих на него, равна нулю, поэтому \[N = N_1 + N_2 = \frac{27}{7}\,mg .\]

Подумайте, в какую сторону сначала движется тень: она может уходить назад и потом возвращаться. Максимальное смещение тени соответствует моменту, когда скорость камня параллельна солнечным лучам.

При \(\alpha < \beta\): \(S = \dfrac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g} = \dfrac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}\) (тень не возвращается, путь равен дальности полёта камня).

При \(\alpha > \beta\): \(S = \dfrac{v_0^2\sin^2(\alpha-\beta)}{g\cos\beta\sin\beta} + \dfrac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g}\).

В момент броска тень от камня находится на земле, и в момент падения тоже. Если бы тень всё время находилась между начальной и конечной точками, то пройденный тенью путь равнялся бы дальности полёта камня по горизонтали. При \(\alpha < \beta\) камень по отношению к солнечным лучам сразу начинает смещаться в одну сторону, и тень всегда лежит между точками бросания и падения камня. Поэтому путь, пройденный тенью, равняется дальности полёта камня по горизонтали. Используя формулу для дальности полёта тела, брошенного под углом к горизонту, получаем для пути, пройденного камнем, \[S = \frac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g} .\]

Существенно другой будет ситуация при \(\alpha > \beta\). В этом случае тень сначала начнёт двигаться от точки падения камня на землю, а после того, как скорость камня станет параллельной солнечным лучам, начнёт двигаться в направлении точки падения. Поэтому, если длину этого участка обозначить как \(\Delta x\), то путь, пройденный тенью до падения камня на землю, равен двум длинам \(\Delta x\) плюс дальность полёта камня: \[S = 2\Delta x + \frac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g} .\] Найдём \(\Delta x\). Выберем систему координат так, что её начало находится в точке бросания камня, ось \(y\) направлена противоположно солнечным лучам, а ось \(x\) перпендикулярно им. Проецируя уравнения движения на ось \(x\), получим \[x(t) = v_0\sin(\alpha-\beta)\,t - \frac{g\cos\beta\,t^2}{2}, \qquad v_x(t) = v_0\sin(\alpha-\beta) - g\cos\beta\,t .\] Максимальному смещению тени влево отвечает ситуация, когда проекция скорости камня на ось \(x\) равна нулю. Из второго уравнения находим время движения камня до этой точки \[t_1 = \frac{v_0\sin(\alpha-\beta)}{g\cos\beta},\] а из первого уравнения — дальность смещения тела по оси \(x\) до этой точки \[l = \frac{v_0^2\sin^2(\alpha-\beta)}{2g\cos\beta} .\] Отсюда находим \[\Delta x = \frac{l}{\sin\beta} = \frac{v_0^2\sin^2(\alpha-\beta)}{2g\cos\beta\sin\beta}\] и путь, пройденный тенью, \[S = \frac{v_0^2\sin^2(\alpha-\beta)}{g\cos\beta\sin\beta} + \frac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g} .\]