ВсОШ, 2017/18, региональный этап, 11 класс, теоретический тур

Подсказка

Импульс, который передаёт стержень, направлен вдоль стержня; его проекции на направляющие дают изменения импульсов муфт. Не забудьте кинематическую связь скоростей \(A\) и \(B\) через стержень.

Ответ

\(\upsilon_{AC} = \dfrac{\upsilon\cos^2\alpha}{3}\) (скорость муфт \(A\) и \(C\) после удара);  \(\upsilon_B = \dfrac{\upsilon\sin 2\alpha}{6}\).

Решение

Пусть в результате удара через стержень передаётся импульс \(p = \int F(t)\,dt\), где \(F\) — сила упругости стержня. Для муфт \(A\) и \(C\) изменение импульса \(m\upsilon - p\sin\alpha = 3m\upsilon_{AC}\). Для муфты \(B\) изменение импульса \(p\cos\alpha = 3m\upsilon_B\). Из кинематической связи следует \(\upsilon_{AC}\tg\alpha = \upsilon_B\).

Решая полученные уравнения, найдём \(\upsilon_{AC} = \dfrac{\upsilon\cos^2\alpha}{3}\) и \(\upsilon_B = \dfrac{\upsilon\sin 2\alpha}{6}\).

Подсказка

Натяжение ленты одинаково по всей её длине. Когда цилиндр отрывается, сила давления ленты на него обращается в ноль: что это говорит о положении ленты?

Ответ

\(\upsilon = \sqrt{2R\left[\dfrac{F(1-\cos\alpha)}{m} - g\sin\alpha\right]}\).

Решение

При отсутствии трения натяжение ленты одинаково по величине, \(T = F\), для любого участка ленты. Пусть сила давления на ленту со стороны цилиндра равна \(\vec N\), а \(\vec T_1\) и \(\vec T_2\) — натяжения ленты справа и слева от обхватывающего цилиндр участка. Тогда \(\vec N + \vec T_1 + \vec T_2 = 0\). В момент отрыва \(N = 0\), а \(\vec T_1 + \vec T_2 = 0\). Так как натяжение направлено вдоль ленты, отрыв происходит в момент, когда вся лента становится горизонтальной.

При переходе ленты в горизонтальное положение её свободный конец смещается по горизонтали на \(x = R(1-\cos\alpha)\), и работа силы \(F\), приложенной к этому концу, равна \(A = Fx = FR(1-\cos\alpha)\). Эта работа идёт на приращение механической энергии цилиндра, который поднялся на \(R\sin\alpha\): \(FR(1-\cos\alpha) = \dfrac{m\upsilon^2}{2} + mgR\sin\alpha\). Отсюда \(\upsilon = \sqrt{2R\left[\dfrac{F(1-\cos\alpha)}{m} - g\sin\alpha\right]}\). Ответ имеет смысл, если подкоренное выражение положительно.

Ответ

Шкала линейна: смещение поршня пропорционально \(\Delta T\) (формула в решении). Цена деления шкалы \(\approx 1{,}2\) К.

Решение

Для начального состояния газов в сосудах запишем уравнение Менделеева–Клапейрона: \(\dfrac{p_0(V + LS/2)}{T_0} = \nu R\), где \(p_0\) — давление газа вначале, а \(V_0 = V + LS/2\) — объём каждого сосуда с половиной трубки.

Пусть температура в левом сосуде повысится на \(\Delta T_1\), а в правом понизится на \(\Delta T_2\), и поршень сместится влево на \(\Delta L\). Новые уравнения состояния: \(\dfrac{p(V_0 + \Delta L S)}{T_0 + \Delta T_1} = \nu R\) и \(\dfrac{p(V_0 - \Delta L S)}{T_0 - \Delta T_2} = \nu R\). Приравнивая левые части с учётом \(\Delta L S \ll V\), получим \(\Delta L = \dfrac{V_0(\Delta T_1 + \Delta T_2)}{2ST_0}\), и с учётом \(\Delta T = \Delta T_1 + \Delta T_2\) окончательно \(\Delta L = \dfrac{V_0\,\Delta T}{2ST_0}\). Смещение поршня линейно связано с разностью температур при малых изменениях температур, шкала линейна.

Цена деления: при смещении поршня на одно деление шкалы \(\Delta L_1 \approx 2{,}25\) см (4 деления соответствуют 9 см) получаем \(\Delta T_\text{дел} = \dfrac{2ST_0\,\Delta L_1}{V_0} \approx 1{,}2\) К. Шкала термометра, показывающего разность \(T_1 - T_2\), оцифрованная в кельвинах, выглядит так:

Подсказка

Исключите натяжение нити, рассмотрев составляющие кулоновских сил, перпендикулярные нити. Теорема синусов для треугольников с вершиной в заряде \(q\) и теорема косинусов связывают углы и расстояния.

Ответ

1) \(Q_1 = Q_2\dfrac{L_2}{L_1}\left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^3\), где \(R_1^2 = R^2 + L_1^2 - 2RL_1\cos\beta\), \(R_2^2 = R^2 + L_2^2 + 2RL_2\cos\beta\);  2) \(Q_{\min} = \dfrac{Q_2}{128}\) (при \(\beta \to 0\)), \(Q_{\max} = \dfrac{125}{16}\,Q_2\) (при \(\beta \to 180^\circ\)).

Решение

Условие равновесия заряда на конце нити: сумма кулоновских сил со стороны \(Q_1\) и \(Q_2\) уравновешивается натяжением нити, направленным к точке \(O\). Исключим натяжение, рассмотрев составляющие кулоновских сил, поперечные нити. Из условия равновесия \[\frac{Q_1\sin\alpha_1}{R_1^2} = \frac{Q_2\sin\alpha_2}{R_2^2}, \qquad (1)\] где \(R_1\) и \(R_2\) — расстояния от конца нити до зарядов, а \(\alpha_1\) и \(\alpha_2\) — углы, образуемые кулоновскими силами с нитью.

Поскольку \(R_1\sin\alpha_1 = L_1\sin\beta\) и \(R_2\sin\alpha_2 = L_2\sin\beta\), (2) из (1) и (2) получаем \(\dfrac{Q_1L_1}{R_1^3} = \dfrac{Q_2L_2}{R_2^3}\), то есть \[Q_1 = Q_2\,\frac{L_2}{L_1}\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3. \qquad (3)\] Из теоремы косинусов находим \(R_1^2 = R^2 + L_1^2 - 2RL_1\cos\beta\) и \(R_2^2 = R^2 + L_2^2 + 2RL_2\cos\beta\). (4) Откуда \[Q_1 = Q_2\,\frac{L_2}{L_1}\left(\frac{R^2 + L_1^2 - 2RL_1\cos\beta}{R^2 + L_2^2 + 2RL_2\cos\beta}\right)^{3/2}. \qquad (5)\]

При нити, отклонённой от прямой, соединяющей заряды \(Q_1\) и \(Q_2\), равновесие устойчиво, так как при изменении \(\beta\) возникает возвращающая сила. При \(\beta = 0\) и \(180^\circ\) равновесие будет при любом \(Q_1\), но оно не обязательно устойчиво. Минимальный измеримый заряд \(Q_{\min}\) достигается при \(\beta \to 0\), а максимальный \(Q_{\max}\) — при \(\beta \to 180^\circ\).

При \(L_1 = 2L_2\) и \(R = 3L_2\) получаем \(Q_{\min} = \dfrac{1}{128}Q_2\) и \(Q_{\max} = \dfrac{10^3}{128}Q_2 = \dfrac{125}{16}Q_2\).

Ответ

1) \(I_\text{max} = q\sqrt{\dfrac{3d}{\varepsilon_0 S L}}\);  2) \(I_\text{max} = q\sqrt{\dfrac{2d}{\varepsilon_0 S L}\cdot\dfrac{2+\varepsilon}{1+\varepsilon}}\).

Решение

1) Три пластины образуют два последовательно соединённых конденсатора ёмкостями \(C_1 = \dfrac{\varepsilon_0 S}{d}\) (между 1 и 2) и \(C_2 = \dfrac{\varepsilon_0 S}{2d}\) (между 2 и 3). Заряд на обоих конденсаторах равен \(q\). Ёмкость эквивалентного конденсатора \(C_\text{экв} = \dfrac{\varepsilon_0 S}{3d}\). По закону сохранения энергии энергия конденсаторов переходит в энергию катушки в момент максимума тока: \[\frac{q^2}{2C_1} + \frac{q^2}{2C_2} = \frac{LI_\text{max}^2}{2}, \qquad (1)\] откуда \(I_\text{max} = q\sqrt{\dfrac{3d}{\varepsilon_0 SL}}\).

2) Верхний промежуток между пластинами 1 и 2 с диэлектриком в половине пространства можно представить как два конденсатора, соединённых параллельно: ёмкостью \(\dfrac{\varepsilon\varepsilon_0 (S/2)}{d}\) и \(\dfrac{\varepsilon_0 (S/2)}{d}\). Их суммарная ёмкость \(C_1' = \dfrac{\varepsilon_0 S(1+\varepsilon)}{2d}\). Нижний конденсатор остаётся \(C_2 = \dfrac{\varepsilon_0 S}{2d}\). Подставив их в (1), получим \(\dfrac{1}{C_1'} + \dfrac{1}{C_2} = \dfrac{2d}{\varepsilon_0 S}\cdot\dfrac{2+\varepsilon}{1+\varepsilon}\), и \(I_\text{max} = q\sqrt{\dfrac{2d}{\varepsilon_0 SL}\cdot\dfrac{2+\varepsilon}{1+\varepsilon}}\). При \(\varepsilon = 1\) это совпадает с ответом пункта 1.