ВсОШ, 2017/18, региональный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

Безопасная дистанция складывается из разности тормозных путей до полной остановки и пути, который задняя машина проходит с постоянной скоростью за время задержки. Запишите оба варианта (какая машина впереди) и сложите их.

Ответ

\(v = 25\) м/с;  \(\Delta a \approx 0{,}12\) м/с\(^2\).

Решение

Безопасное расстояние между машинами складывается из разности тормозных путей до полной остановки и длины участка, на котором задний автомобиль движется с постоянной скоростью до начала торможения: \[L_1 = v\tau + \frac{v^2}{2a_1} - \frac{v^2}{2a_2}, \qquad L_2 = v\tau + \frac{v^2}{2a_2} - \frac{v^2}{2a_1}.\] Складывая эти равенства, получаем \(L_1 + L_2 = 2v\tau\), откуда \[v = \frac{L_1 + L_2}{2\tau} = 25~\text{м/с}.\] Вычитая, получаем \(\dfrac{\Delta a}{a_1 a_2} = \dfrac{L_2 - L_1}{v^2}\), откуда \(\Delta a \approx 0{,}12\) м/с\(^2\).

Подсказка

Выпишите условие равновесия поршня: давление воздуха под ним уравновешено весом поршня. Начальный линейный участок графика связан с сечением трубки, конечный линейный участок — с суммой сечений поршня и трубки.

Ответ

\(M \approx 650\) г;  \(V_x \approx 98\) см\(^3\).

Решение

Условие равновесия поршня: \(pS = Mg + p_0 S\). Давление воздуха в сосуде \(p = p_0 + \rho g h\) (равновесие столба воды), поэтому \(M = \rho h S\). Однако ни сечение поршня \(S\), ни сечение трубки \(s\) не даны, и их находят по графику.

Поскольку давление воздуха в сосуде постоянно, разность уровней воды остаётся равной \(h\), и оба уровня поднимаются на одну и ту же величину \(y\). Пока вода не попала в сосуд, \(V = 2sy\). Этому отвечает начальный линейный участок графика, по его наклону \(s = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{V}{y}\right)_{\text{нач}} = 2{,}5\) см\(^2\).

Искривлённая часть графика отвечает заполнению конической части сосуда. Когда вода доходит до цилиндрической части, приращение объёма равно \(\Delta V = S\,\Delta y + s\,\Delta y\). Это конечный линейный участок графика, из его наклона \(S + s = \left(\dfrac{\Delta V}{\Delta y}\right)_{\text{кон}} = 35\) см\(^2\), откуда \(S = 32{,}5\) см\(^2\). Тогда \(M = \rho h S = 650\) г.

Объём конической части \(V_x = V - sy\), где \(V = 120\) см\(^3\) и \(y = 9\) см для искривлённого участка графика, откуда \(V_x = 98\) см\(^3\).

Подсказка

Сила, с которой жидкость давит на дно сосуда, не зависит от того, где в жидкости находится тело, и равна весу сосуда с жидкостью плюс сила Архимеда, действующая на тело. Рассмотрите равновесие тела, груза и рычага, а крайние значения массы \(m_x\) найдите, предполагая нить провисшей или тело вышедшим из воды.

Ответ

\(\dfrac{m}{3} < m_x < 3m\).

Решение

Сила давления на дно сосуда \(F\) распределена равномерно по всей площади и не зависит от места погружения в жидкость тела \(2m\). При этом \(F = mg + F_{\text{а}}\), где \(F_{\text{а}}\) — сила, противодействующая силе Архимеда, действующей на тело \(2m\).

Из условия равновесия тела \(2m\): \(T + F_{\text{а}} = 2mg\), где \(T\) — сила натяжения нити. Из условия равновесия груза \(m_x\): \(T + N = m_x g\), где \(N\) — сила реакции опоры. Правило моментов для рычага относительно точки опоры даёт третье уравнение. Неизвестных больше, чем уравнений, поэтому систему нужно замкнуть предельными случаями.

Если груз \(m_x\) очень лёгкий, рычаг начинает перевешивать, его правая часть идёт вверх, нить провисает (\(T = 0\)). Решая систему, получаем нижнюю границу \(m_x = m/3\).

Если \(m_x\) велико, правая часть рычага движется вниз, тело \(2m\) перестаёт действовать на воду, сила Архимеда обращается в ноль. Тогда решение системы даёт \(m_x = 3m\).

Следовательно, система находится в равновесии при \(m/3 < m_x < 3m\).

Подсказка

Сопротивления и теплоёмкости частей пропорциональны их длинам. Найдите установившуюся температуру из уравнения теплового баланса и посмотрите, как меняются сопротивления частей при её установлении.

Ответ

Сопротивление составного проводника не меняется: \(R = R_1 + R_2\).

Решение

Сопротивление \(R_i\) цилиндров пропорционально их длине, как и их теплоёмкость \(C_i\). Следовательно, \[\frac{R_1}{R_2} = \frac{C_1}{C_2}.\] Уравнение теплового баланса: \(C_1 t_1 + C_2 t_2 = (C_1 + C_2)\,t\). С учётом (1) \[t = \frac{C_1 t_1 + C_2 t_2}{C_1 + C_2} = \frac{R_1 t_1 + R_2 t_2}{R_1 + R_2}.\] Изменения температур частей: \[\Delta t_1 = t - t_1 = \frac{R_2 (t_2 - t_1)}{R_1 + R_2}, \qquad \Delta t_2 = t - t_2 = \frac{R_1 (t_1 - t_2)}{R_1 + R_2}.\] Изменения сопротивлений: \[\Delta R_1 = R_1 \beta\,\Delta t_1 = \beta\,\frac{R_1 R_2 (t_2 - t_1)}{R_1 + R_2}, \qquad \Delta R_2 = R_2 \beta\,\Delta t_2 = \beta\,\frac{R_1 R_2 (t_1 - t_2)}{R_1 + R_2}.\] Изменение сопротивления составного проводника \(\Delta R = \Delta R_1 + \Delta R_2 = 0\). Следовательно, сопротивление составного проводника при нагреве не изменится и будет равно \(R = R_1 + R_2\).

Подсказка

В первом случае сопротивлением амперметров на рёбрах \(AB\) и \(CD\) можно пренебречь: тогда все вольтметры подключены параллельно источнику. Во втором случае сначала исключите вольтметры \(BD\) и \(AC\) из рассмотрения.

Ответ

а) амперметр \(AD\): \(15\) А; амперметры \(AB\) и \(CD\): \(\approx 3{,}0\cdot 10^{-4}\) А; вольтметры \(AC\), \(BC\), \(BD\): \(\approx 1{,}5\) В;  б) амперметры \(BA\), \(AD\), \(DC\): \(5{,}0\) А каждый; вольтметр \(BC\): \(1{,}5\) В; вольтметры \(BD\) и \(AC\): \(1{,}0\) В.

Решение

Вопрос (а). Эквивалентная схема для случая (а) приведена на рисунке 1. Сила тока через амперметр, подключённый к точкам \(A\) и \(D\), равна \(I_{AD} = U_0 / R_{\text{А}} = 15\) А. Поскольку \(R_{\text{А}} \ll R_{\text{V}}\), при расчёте токов через вольтметры сопротивлением амперметров можно пренебречь. Тогда \(U_{AC} \approx U_0\), \(U_{BC} \approx U_0\), \(U_{BD} \approx U_0 = 1{,}5\) В, и токи через вольтметры \(I_{AC} \approx I_{BC} \approx I_{BD} \approx U_0 / R_{\text{V}} = 1{,}5 \cdot 10^{-4}\) А. Далее \(I_{AB} = I_{BC} + I_{BD} = 3{,}0 \cdot 10^{-4}\) А. Аналогично \(I_{CD} = I_{BC} + I_{AC} = 3{,}0 \cdot 10^{-4}\) А.

Вопрос (б). Эквивалентная схема для случая (б) приведена на рисунке 2. Напряжение на вольтметре, подключённом к точкам \(B\) и \(C\), равно \(U_{BC} = U_0 = 1{,}5\) В. Сила тока через амперметры \(I_{BA} = I_{AD} = I_{DC} = U_0 / (3R_{\text{А}}) = 5{,}0\) А. Напряжение \(U_{BD} = U_{BA} + U_{AD} = 2R_{\text{А}} I_{BA} = 1{,}0\) В. Аналогично \(U_{AC} = U_{AD} + U_{DC} = 2R_{\text{А}} I_{DC} = 1{,}0\) В.