ВсОШ, 2017/18, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

Направление ветра можно найти по касательной к начальному участку шлейфа. Запишите координаты паровоза в системе отсчёта ветра и уравнение траектории дыма.

Ответ

1) с юга на север;  2) \(\alpha = 30^\circ\) (\(\operatorname{ctg}\alpha = 1{,}72\));  3) \(v_0 = 10\) м/с;  4) \(v_{\min} = 5\) м/с;  5) \(\tau = 400\) с;  6) \(s = 4000\) м.

Решение

Направление ветра оцениваем по касательной, проведённой к начальному участку шлейфа: ветер дует от железной дороги в северо-восточном направлении, примерно под углом \(30^\circ\) к меридиану. Если бы паровоз двигался с севера на юг, угол между шлейфом и дорогой по мере разгона уменьшался бы, а он увеличивается. Значит, паровоз движется с юга на север.

Движение равноускоренное из состояния покоя, модуль скорости \(u(t) = at\). Ось \(OX\) направим перпендикулярно железной дороге, ось \(OY\) — вдоль неё, начало — в начальной точке шлейфа. В системе отсчёта ветра проекции скорости паровоза: \[w_y = u(t) + v_0\cos\alpha, \qquad w_x = v_0\sin\alpha.\] Координаты паровоза в этой системе: \[y(t) = v_0\cos\alpha\,t + \frac{at^2}{2}, \qquad x(t) = v_0 t\sin\alpha.\] Форма шлейфа не меняется при переходе в систему ветра, поэтому траектория паровоза совпадает с траекторией дыма: \[y = \frac{a\,x^2}{2v_0^2\sin^2\alpha} + x\operatorname{ctg}\alpha.\] Это парабола с вершиной \[x_0 = \frac{v_0^2}{a}\sin\alpha\cos\alpha, \qquad y_0 = \frac{v_0^2}{2a}\cos^2\alpha.\] Из рисунка \(y_0 = 750\) м и \(x_0 = 870\) м, тогда \(\dfrac{y_0}{x_0} = \dfrac{\operatorname{ctg}\alpha}{2}\), откуда \(\operatorname{ctg}\alpha = 1{,}72\) (\(\alpha = 30^\circ\)). Скорость ветра \[v_0 = \sqrt{\frac{2ay_0}{\cos^2\alpha}} = 10~\text{м/с}.\] Расстояние между крайними по оси \(x\) точками параболы \(\Delta x = 2000\) м, и \(\Delta x = v_0\tau\sin\alpha\), откуда \(\tau = 400\) с, а пройденный путь \(s = \dfrac{a\tau^2}{2} = 4000\) м. Минимальная скорость ветра относительно паровоза \(v_{\min} = v_0\sin\alpha = 5\) м/с.

Подсказка

Объём жидкости не меняется, поэтому смещения поршней связаны. Изменения длин вертикальных участков нитей связаны смещением рычага.

Ответ

1) Поршень \(S_2\) поднимается на \(x = \dfrac{3hS_1}{2S_1 - S_2}\), поршень \(S_1\) опускается на \(y = \dfrac{3hS_2}{2S_1 - S_2}\);  \(F_1 = \dfrac{9\rho gh\,S_1S_2(S_1+S_2)}{(2S_1 - S_2)^2}\);  2) \(F_2 = 3p_0S_1\).

Решение

Объём жидкости не меняется, поэтому поршни могут двигаться только в противоположных направлениях: поршень \(S_2\) смещается вверх, а \(S_1\) — вниз. Пусть при подъёме рычага на \(h\) правый поршень поднялся на \(x\), а левый опустился на \(y\). Из несжимаемости жидкости \(y = xS_2/S_1\).

Длина участка \(AB\) нити увеличивается на \(\Delta l_1 = h + y\), длина участков \(CD\) и \(EF\) уменьшается на \(\Delta l_2 = x - h\). Длина нити не меняется, поэтому \(\Delta l_1 = 2\Delta l_2\), т.е. \(h + y = 2x - 2h\). Отсюда \[x = \frac{3hS_1}{2S_1 - S_2}, \qquad y = \frac{3hS_2}{2S_1 - S_2}.\]

Пусть \(p_1\) — давление в жидкости под поршнем в левом цилиндре, тогда давление под правым поршнем \(p_2 = p_1 - \rho g(x + y) = p_1 - \rho gx\left(1 + \dfrac{S_2}{S_1}\right)\). Условия равновесия поршней: для левого \(T + p_1S_1 = p_0S_1\), для правого \(2T + p_2S_2 = p_0S_2\). Отсюда \[p_1 = p_0 - \rho gx\,\frac{S_2(S_1+S_2)}{(2S_1 - S_2)S_1}, \qquad T = (p_0 - p_1)S_1 = \rho gx\,\frac{S_2(S_1+S_2)}{2S_1 - S_2}.\] Сила, приложенная к рычагу, \(F_1 = 3T\), т.е. \[F_1 = \frac{9\rho gh\,S_1S_2(S_1+S_2)}{(2S_1 - S_2)^2}.\]

При \(S_2 = 2S_1\) на правый поршень действуют силы давления и натяжения вдвое большие, чем на левый, поэтому поршни не могут двигаться в противоположных направлениях без отрыва от поверхности жидкости. Смещение возможно лишь при отрыве поршней от жидкости. При перемещении рычага силы не меняются и равны \(T = p_0S_1\), \(F_2 = 3T = 3p_0S_1\).

Подсказка

Пластилин до удара не влияет на движение бруска. Удар абсолютно неупругий, поэтому импульс по горизонтали меняется только за счёт ударной силы трения.

Ответ

\(v_1 = 4\) м/с (для обеих высот, так как пластилин падает дольше 1 с). График: а) \(v = 4\) м/с до \(t = 1{,}4\) с, затем скачок до \(0{,}6\) м/с и линейное убывание до нуля при \(t = 2\) с; б) см. решение.

Решение

Пластилин, падая свободно с высоты \(h_i\), за время \(\tau_i = \sqrt{\dfrac{2h_i}{g}}\) приобретает скорость \(u_i = \sqrt{2gh_i}\).

До удара брусок движется равномерно, поэтому внешняя сила тяги равна \(F = \mu mg\). В момент слипания на систему действуют ударные силы трения и реакции опоры, а постоянные силы (тяжесть и тяга) за малое время удара не меняют импульс системы. По теореме о движении центра масс в импульсной форме \(\Delta p_x = -\mu\Delta p_y\) (скольжение бруска не прекращается за время слипания), или \(2mv_k - mv_0 = -\mu mu\). Скорость системы сразу после слипания \[v_k = \frac{v_0 - \mu u}{2}.\] После слипания по второму закону Ньютона \(2ma = F - 2\mu mg\), откуда \(a = \mu g/2\): система движется равнозамедленно. Скорость системы \[v = v_k - a(t - \tau) = \frac{v_0 - \mu u - \mu g(t - \tau)}{2} = \frac{v_0 - \mu gt}{2}\] при \(t > \tau\) (здесь \(\tau\) — момент удара). Скорость не зависит от высоты падения пластилина. Для любой высоты скорость бруска обращается в ноль при \(t_0 = \dfrac{v_0}{\mu g} = 2\) с.

Поэтому при падении с высот больше \(h_1 = 5\) м (т.е. \(\tau > 1\) с) скорость бруска через 1 с равна \(v_1 = 4\) м/с. При меньших высотах \(v = \dfrac{v_0 - \mu gt_1}{2} = 1\) м/с.

Для случая а) \(\tau_1 = 1{,}4\) с, \(u = 14\) м/с, \(v_k = 0{,}6\) м/с. Для случая б) \(\tau_2 = 2{,}2\) с (при \(t_0 = 2\) с брусок уже остановился бы). Приведённое решение предполагает, что брусок не останавливается (не заклинивает) в момент удара. Заклинивание возможно при падении с высот более \(h = \dfrac{v_0^2}{2\mu^2 g} = 20\) м.

График получается сшивкой постоянной скорости бруска до соударения с выведенной зависимостью со скачком во время удара.

Подсказка

Запишите тепловой баланс для массы воды, которая растёт со временем как \(m + \mu\tau\). Температура достигает предела, когда приток холодной воды компенсирует нагреватель.

Ответ

1) \(\tau_1 = 36\) с;  2) \(t_{\max} = 44\) °C;  скорость при \(t_1\): \(v \approx 0{,}32\) мм/с.

Решение

Тепловой баланс для времени \(\tau_1\): \[N\tau_1 = (m + \mu\tau_1)\,c\,(t_1 - t_0) \quad\Rightarrow\quad \tau_1 = \frac{mc(t_1 - t_0)}{N - \mu c(t_1 - t_0)} = 36~\text{с}.\] Максимальная температура достигается при обращении в ноль знаменателя: \[t_{\max} = \frac{N}{\mu c} + t_0 = 44~^\circ\text{C}.\]

За малый интервал \(\Delta\tau\) в систему поступает \(\mu\Delta\tau\) воды при комнатной температуре. Тепловой баланс: \(N\Delta\tau = (m + \mu\tau)c\,\Delta t + \mu\Delta\tau\,c\,(t + \Delta t - t_0)\), откуда \[\frac{\Delta t}{\Delta\tau} = \frac{Nm}{c\,(m + \mu\tau)^2}.\] Скорость подъёма столбика ртути \(v = \dfrac{l}{t_1 - t_0}\dfrac{\Delta t}{\Delta\tau}\). Так как \(\tau = \tau_1\), получаем \[v = \frac{Nml}{(t_1 - t_0)\,c\,(m + \mu\tau_1)^2} \approx 0{,}32~\text{мм/с}.\]

Подсказка

Постройте вольтамперную характеристику участков Z с R при параллельном и последовательном соединении. Нагрузочная прямая омметра проходит через точки, соответствующие показаниям.

Ответ

\(U_0 = 12\) В;  \(r = 0{,}8\) кОм;  \(R_2 = 1{,}6\) кОм.

Решение

При подключении Z показания омметра \(R_z = U_z/I_z = 0{,}8\) кОм, что соответствует \(I_z = 7{,}5\) мА и \(U_z = 6\) В (точка \(A\) на рисунке).

Вольтамперная характеристика участка из параллельно соединённых Z и \(R\) строится так: напряжение общее, а ток через участок равен сумме токов через элементы. Показания омметра \(R_1 = U_1/I_1 = 0{,}4\) кОм, что соответствует \(I_1 = 10\) мА и \(U_1 = 4\) В (точка \(B\) на рисунке).

Нагрузочная прямая омметра проходит через точки \(A\) и \(B\) и задаётся уравнением \(U = U_0 - rI\). По точкам её пересечения с осями: \(U_0 = 12\) В (при \(I = 0\)) и \(r = U_0/I = 0{,}8\) кОм (при \(U = 0\)).

Вольтамперная характеристика последовательного соединения Z и \(R\) строится при общем токе и напряжении, равном сумме напряжений на элементах. Показание омметра \(R_2 = U_2/I_2\) определяется точкой \(C\) пересечения нагрузочной прямой с этой кривой: \(R_2 = 1{,}6\) кОм.