ВсОШ, 2018/19, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

Пройденные кораблём и катерами за время \(\tau\) пути относятся как \(4 : 3\); при этом линия движения катеров — высота равнобедренного треугольника с вершинами в точках \(A\), \(B\) и в положении корабля в момент встречи.

Ответ

Катер за время \(\tau\) проходит \(1{,}5\) км (каждый катер, встретившись в середине отрезка \(CB\), см. решение).

Решение

1. В момент встречи катеров корабль вновь оказался на расстоянии \(L\) от пристани. Проведём окружность радиусом \(AB\) с центром в точке \(B\) (окружность 1). Через время \(2\tau\) корабль должен находиться где-то на этой окружности.

2. Учёт соотношения скоростей корабля и катеров даёт, что расстояния, пройденные за время \(\tau\) кораблём и вместе двумя катерами, относятся как \(4 : 3\).

3. Так как времена движения корабля до начала движения катеров и после равны, линия, вдоль которой двигались катера, является высотой в равнобедренном треугольнике с вершинами в точках начального положения корабля \(A\), пристани \(B\) и конечного положения корабля. Следовательно, треугольник с вершинами в точках начального положения корабля \(A\), пристани \(B\) и в месте отправления катера от корабля — прямоугольный.

4. Применяя теорему Пифагора, получим, что катера до встречи прошли расстояние \(3\) км, а корабль за это время — \(4\) км.

5. Найдём место старта катера, отправившегося от корабля, построив окружности радиусом \(3\) км с центром в точке \(B\) (окружность 2) и радиусом \(4\) км с центром в точке \(A\) (окружность 3) до их пересечения (точка \(C\)).

6. Продлив прямую \(AC\) до пересечения с окружностью 1, получим искомое положение корабля (точка \(K\)) в момент встречи катеров.

7. Так как катера встретились на середине отрезка \(CB\) (точка \(O\)), то каждый из них прошёл расстояние \(1{,}5\) км.

Ответ

\(v = 20\) м/с.

Решение

Если машины не встречаются до полной остановки, то безопасное расстояние между ними складывается из разности тормозных путей до полной остановки и длины участка, на котором задний автомобиль движется с постоянной скоростью. Такой сценарий однозначно реализуется, если сзади едет машина, тормозящая с меньшим ускорением \(a_1\) (рис. 17). Безопасная дистанция при этом принимает большее значение \(L_2\): \[L_2 = v\tau + \frac{v^2}{2a_2} - \frac{v^2}{2a_1} = v\tau + \frac{v^2}{2}\cdot\frac{a_2-a_1}{a_1a_2}.\]

Возможна ситуация, при которой задняя машина, начинающая торможение позже, но движущаяся затем с большим ускорением, догоняет переднюю, когда та ещё не остановилась (рис. 18). Для реализации этого случая необходимо выполнение условия \[\tau + \frac{v}{a_2} < \frac{v}{a_1}, \quad\text{или}\quad v > \frac{a_1a_2}{a_2-a_1}\,\tau.\] Тогда безопасная дистанция рассчитывается по формуле \(L_1 = \dfrac{1}{2}\tau(v - v_1)\), и с учётом соотношений \(v - v_1 = a_1 t\) и \(v - v_1 = a_2(t-\tau)\) \[L_1 = \frac{1}{2}\tau^2\,\frac{a_1a_2}{a_2-a_1}, \qquad \text{откуда}\quad L_2 = v\tau + \frac{v^2\tau^2}{4L_1}.\] Решая квадратное уравнение \(v^2\tau^2 + 4L_1 v\tau - 4L_1L_2 = 0\) относительно \(v\), получим \[v = \frac{2L_1}{\tau}\left(\sqrt{1 + \frac{L_2}{L_1}} - 1\right) = 20~\text{м/с}.\] В предположении встречи после остановки первой машины получается ответ \(v = \dfrac{L_1+L_2}{2\tau} = 22{,}5\) м/с, что принципиально неверно для заданных в условии расстояний. Сравнение условия реализации встречи до остановки с формулой для \(v\) даёт простое выражение \(L_2/L_1 > 3\) (рис. 19).

Ответ

\(F = \dfrac{mg}{3\cos\beta} \approx 71\) Н;  \(\mu_{\min} = \mathrm{tg}\beta \approx 0{,}36\).

Решение

Рассмотрим внешние силы, действующие на всю лестницу. Из правила моментов относительно правой нижней точки, с учётом соотношения \(\mathrm{tg}\gamma = 2\mathrm{tg}\beta\), получаем \(3N_1 = mg\), откуда \(N_1 = \dfrac{1}{3}mg\), а \(N_2 = \dfrac{2}{3}mg\).

Сила, действующая на опору со стороны шарнира, может быть направлена только вдоль неё (иначе возникнет некомпенсированный момент относительно нижней точки опоры). Таким образом \[F = \frac{N_1}{\cos\beta} = \frac{mg}{3\cos\beta} \approx 71~\text{Н}.\]

Из равенства нулю суммы горизонтальных сил следует, что силы трения равны. Но первой проскользнёт легкая опора, так как на неё действует меньшая сила нормальной реакции. Минимальное значение коэффициента трения \[\mu = \mathrm{tg}\beta \approx 0{,}36.\]

Подсказка

Запишите уравнение теплового баланса для одного цилиндра без вытекания жидкости; удобно строить зависимость \(1/t\) от \(1/M\).

Ответ

1) \(T = 90^\circ\)C;  2) \(\gamma = \dfrac{2}{3}\);  3) \(m = 300\) г;  4) \(c_0/c = 12\).

Решение

Пусть \(M\) — масса цилиндра. Если после погружения цилиндра в калориметр жидкость не вытекает, уравнение теплового баланса имеет вид \(cM(T-t) = c_0m_0t\), где \(t\) — установившаяся в калориметре температура. Отсюда \[t = \frac{cMT}{cM + c_0m_0}, \qquad \frac{1}{t} = \frac{1}{T} + \frac{c_0}{c}\cdot\frac{m_0}{T}\cdot\frac{1}{M}.\] Зависимость \(y = 1/t\) от \(x = 1/M\) линейна с угловым коэффициентом \(k_1 = \dfrac{c_0m_0}{cT}\) и свободным членом \(b_1 = \dfrac{1}{T}\).

Рассмотрим случай, когда при погружении часть жидкости вытекает, то есть объём цилиндра больше объёма части калориметра, незанятой жидкостью, \(\Delta V\). Тогда \[\frac{1}{t} = \frac{1}{T}\left(1 - \frac{c_0\rho_0}{c\rho}\right) + \frac{c_0}{c}\cdot\frac{m_0 + \Delta m}{T}\cdot\frac{1}{M}, \qquad \Delta m = \rho_0\Delta V.\] Нанесём на координатную плоскость \((y, x)\), где \(y = 1/t\), \(x = m/M\), данные условия задачи (рис. 22). Видно, что точки, соответствующие данным в условии, принадлежат двум разным зависимостям: точки 1 и 2 — зависимости (3) (объём цилиндра меньше \(\Delta V\)), точки 3 и 4 — зависимости (4) (объём цилиндра больше \(\Delta V\)).

Применяя дважды уравнение (3) для первого и второго цилиндра, получим, что их начальная температура \(T = 90^\circ\)C.

Из сравнения угловых коэффициентов наклона зависимостей \[\frac{k_2}{k_1} = \frac{m_0 + \Delta m}{m_0} = \frac{3}{2},\] следует, что доля объёма стакана, заполненная жидкостью, \(\gamma = \dfrac{2}{3}\).

Пересечение графиков при \(m/M = 0{,}5\) соответствует моменту начала вытекания жидкости. При этом масса цилиндра равна \(2m\). Масса жидкости \(m_0 = \rho_0\cdot 2V/3\), следовательно, \(m = \dfrac{3}{2}m_0 = 300\) г. Подставив значения \(T\) и \(m\) в уравнение (3) для первого цилиндра, получим \(c_0/c = 12\).

Ответ

1) \(R_{AA_1} = \dfrac{5}{12}R = 5\) Ом;  2) \(R_{CA_1} = \dfrac{1}{2}R = 6\) Ом.

Решение

1) При подключении к узлам \(A\) и \(A_1\) эквивалентная схема имеет вид (рис. 23).

Разорвав узлы \(A\) и \(B_1\), получим схему (рис. 24), которая сводится к системе элементарных параллельных и последовательных соединений резисторов: \[\frac{1}{R_{AB_1}} = \frac{1}{R} + \frac{2}{2R} + \frac{1}{2R + \dfrac{R}{2}}.\]

Откуда \(R_{AA_1} = \dfrac{5}{12}R = 5\) Ом.

2) При подключении к узлам \(C\) и \(A_1\) эквивалентная схема представляет собой сбалансированный мост (рис. 25). Токи через резисторы, подсоединённые между узлами \(A\), \(B\), \(C_1\), \(B_1\), не идут, и \[R_{CA_1} = \frac{1}{2}R = 6~\text{Ом}.\]