ВсОШ, 2019/20, региональный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

При установившейся температуре мощность нагревателя равна мощности тепловых потерь. Выразите мощность нагревателя через \(U\), \(R\) и \(x\), учитывая, что \(R_н = R/4\), и составьте такое уравнение для двух известных случаев.

Ответ

\(x_3 = 0{,}2\) (при этом температура термостата \(t_0 = 29\,^\circ\)C).

Решение

Сопротивление реостата равно \(xR\). Сила тока в цепи нагревателя \[I = \frac{U}{R\,(x + 0{,}25)}.\] Тепловая мощность на нагревателе \[P_н = I^2 R_н = \frac{U^2}{R}\cdot\frac{0{,}25}{(x + 0{,}25)^2}.\] При установившейся температуре мощность нагревателя равна мощности тепловых потерь: \(P_н = P_{\text{потерь}} = \alpha\,(t_0 - t)\), где \(\alpha\) — постоянный коэффициент, \(t_0\) — температура термостата, \(t\) — температура среды. Для двух известных случаев получаем систему \[\begin{cases} \dfrac{U^2}{R}\cdot\dfrac{0{,}25}{0{,}81} = \alpha\,(t_0 - 25\,^\circ\text{C}),\\[2ex] \dfrac{U^2}{R}\cdot\dfrac{0{,}25}{0{,}36} = \alpha\,(t_0 - 20\,^\circ\text{C}). \end{cases}\] Решая её, находим \(t_0 = 29\,^\circ\)C. Для третьего случая \[\frac{U^2}{R}\cdot\frac{0{,}25}{(x_3 + 0{,}25)^2} = \alpha\,(29\,^\circ\text{C} - 13\,^\circ\text{C}).\] Совместно с любым уравнением системы получаем \(x_3 = 0{,}2\).

Подсказка

Рычаги тоже имеют массу. Подумайте, как учесть моменты их сил тяжести, и рассмотрите равновесие кресла и каждой штанги по отдельности.

Ответ

\(F \approx 148\) Н.

Решение

Рычаги обладают массой. Суммарный момент сил тяжести, связанных с этими массами, компенсируется моментом веса груза массы \(m\). Поэтому для их учёта достаточно вычесть \(m\) из массы человека \(M_0\). Сила давления человека на кресло меньше силы тяжести на величину силы \(F\).

Сила \(N_2\) со стороны вертикальной штанги на кресло может быть только горизонтальной, иначе момент сил относительно точки \(A\) будет отличен от нуля (её вертикальную составляющую мы учли при уменьшении массы). Аналогично, сила \(T\) в нижней тяге может быть только вертикальной, иначе момент сил относительно точки \(B\) будет отличен от нуля.

Для равновесия кресла необходимо равенство вертикальных сил: \[N_{\text{верт}} = (M_0 - m)\,g - F.\] Для средней горизонтальной штанги равенство моментов \(N_1\) и \(T\) относительно точки \(O\): \[T\,a_2 = N_{\text{верт}}\,a_1.\]

Для верхней штанги равенство моментов \(F\) и \(T\) относительно точки \(C\): \[T\,b_2 = F\,(b_1 + b_2).\]

Решая совместно уравнения (1)–(3), получаем \[F = \frac{a_1 b_2}{a_1 b_2 + a_2 b_2 + a_2 b_1}\,(M_0 - m)\,g.\] Подставляя численные данные, находим \(F = 148\) Н.

Подсказка

До остановки шайба движется с ускорением, модуль которого \(a = \mu g\). Рассмотрите два случая: шайба ещё движется к моменту \(2\tau\) или уже остановилась между \(\tau\) и \(2\tau\).

Ответ

\(\mu = 0{,}4\).

Решение

На шайбу действуют сила тяжести, сила реакции опоры и сила трения скольжения. До остановки шайба движется с ускорением \(a = \mu g\), откуда \(\mu = a/g\).

Если к моменту \(2\tau\) шайба ещё не остановилась, то \[\begin{cases} S_1 = v\tau - \dfrac{a\tau^2}{2},\\[1.5ex] S_2 = v\,(2\tau) - \dfrac{a(2\tau)^2}{2}, \end{cases}\] где \(v\) — начальная скорость шайбы. Решая систему, получаем \[a = \frac{2S_1 - S_2}{\tau^2} = 4~\text{м/с}^2, \qquad \mu = 0{,}4.\]

Если шайба остановилась между \(\tau\) и \(2\tau\), то \[\begin{cases} S_1 = v\tau - \dfrac{a\tau^2}{2},\\[1.5ex] S_2 = \dfrac{v^2}{2a}. \end{cases}\] Из этой системы получаем уравнение для \(a\): \[2aS_2 = \left(\frac{S_1}{\tau} + \frac{a\tau}{2}\right)^2.\] Его решения \(a = 16\,(2 \pm \sqrt{3})\) м/с\(^2\). Корень со знаком «+» даёт время остановки меньше \(\tau\), что противоречит условию; корень со знаком «\(-\)» даёт время остановки больше \(2\tau\). Оба корня отбрасываются, поэтому возможно только значение \(\mu = 0{,}4\).

Подсказка

Участки \(AB\) и \(DC\) пролетаются одинаково. Для дуг \(BD\) и \(CA\) разбейте траекторию на малые отрезки \(\Delta l\) и сложите скорость самолёта с ветром векторно: в каждой точке скорость относительно земли направлена по касательной к дуге.

Ответ

\(\dfrac{t_{ABDA}}{t_{ADCA}} = 1\).

Решение

1) Так как скорости на участках \(AB\) и \(DC\) одинаковы, то \(t_{AB} = t_{DC}\).

2) Время движения на участке \(AD\) (по ветру) \(t_{AD} = \dfrac{l}{u + \upsilon}\), на участке \(DA\) (против ветра) \(t_{DA} = \dfrac{l}{u - \upsilon}\). Выигрыш во времени на этих участках \[\Delta t_1 = t_{DA} - t_{AD} = \frac{l}{u-\upsilon} - \frac{l}{u+\upsilon} = \frac{2l\upsilon}{u^2 - \upsilon^2}.\]

3) Сравним времена движения на дугах \(BD\) и \(CA\). Рассмотрим малый участок \(\Delta l\) на дуге \(BD\). Скорость самолёта относительно земли \(w_1\) равна векторной сумме скорости ветра \(\upsilon\) и собственной скорости самолёта \(u\). Введём оси, направленные вдоль и нормально к траектории в данной точке (касательная \(\tau\) и нормаль \(n\)). Тогда \[\begin{cases} u_n = -\upsilon_n,\\ u_\tau + \upsilon_\tau = w_1, \end{cases} \quad\Rightarrow\quad w_1 = \sqrt{u^2 - u_n^2} + \upsilon\sin\alpha,\] и время прохождения участка \(\Delta t_{BD1} = \dfrac{\Delta l}{w_1}\).

Для симметричного участка \(\Delta l\) на дуге \(CA\) собственная скорость самолёта изменила направление, и аналогично \[w_2 = \sqrt{u^2 - u_n^2} - \upsilon\sin\alpha, \qquad \Delta t_{CA1} = \frac{\Delta l}{w_2}.\]

Разность времён на малых участках \[\Delta t_{BD1} - \Delta t_{CA1} = \frac{-2\upsilon\,\Delta l\,\sin\alpha}{u^2 - \upsilon^2}.\] Величина \(\Delta l\sin\alpha\) — смещение вдоль ветра. Просуммировав это выражение по всем малым участкам дуг \(BD\) и \(CA\), получим задержку \[\Delta t_2 = -\frac{2\upsilon l}{u^2 - \upsilon^2},\] которая равна по модулю \(\Delta t_1\) и имеет противоположный знак.

Значит, времена движения по двум маршрутам одинаковы: \[\frac{t_{ABDA}}{t_{ADCA}} = 1.\]

Подсказка

Ток \(I_x\) — общий ток цепи, а \(I_y\) — ток через средний элемент. Для контура с тремя нелинейными элементами запишите равенство падений напряжений, а токи разветвления найдите из условий в узлах.

Ответ

\(I_1 = \dfrac{I_x^2 + I_y^2}{2I_x}\),  \(I_2 = \dfrac{I_x^2 - I_y^2}{2I_x}\),  \(I_3 = \dfrac{(I_x + I_y)^2}{2I_x}\),  \(I_4 = \dfrac{I_x^2 - 2I_xI_y - I_y^2}{2I_x}\), где \(I_1\), \(I_2\) — токи через левые нелинейные элементы, \(I_3\), \(I_4\) — через резисторы, \(I_y\) — через средний элемент.

Решение

Из двух заданных токов наибольший \(I_x\) является общим током цепи, так как это наибольший из возможных токов в данной схеме, а \(I_y\) — током через нелинейный элемент в средней ветви. Расставим токи в цепи:

Из вольт-амперной характеристики нелинейного элемента \(U = I^2/a^2\). Напряжение на \(\Lambda_1\) равно \(U_{\Lambda_1} = I_1^2/a^2\). С другой стороны, оно равно сумме напряжений на \(\Lambda_2\) и \(\Lambda_3\): \[\frac{I_1^2}{a^2} = \frac{I_2^2}{a^2} + \frac{I_y^2}{a^2}.\] Дополним систему условием на сумму токов \(I_1\) и \(I_2\): \(I_1 + I_2 = I_x\). Решая систему, получаем \[I_1 = \frac{I_x^2 + I_y^2}{2I_x}, \qquad I_2 = \frac{I_x^2 - I_y^2}{2I_x}.\] Токи \(I_3\) и \(I_4\) найдём из условий разветвления в узлах: \(I_3 = I_1 + I_y\), \(I_2 = I_4 + I_y\). Отсюда \[I_3 = \frac{(I_x + I_y)^2}{2I_x}, \qquad I_4 = \frac{I_x^2 - 2I_xI_y - I_y^2}{2I_x}.\]