зад 1 Ползущая полоска
При использовании специальной технологии обработки полимерных материалов можно добиться анизотропии свойств их поверхности. Например, движение полоски из полиэтилена по горизонтальной поверхности стола в направлении \(AB\) (на рис. 1 вправо) характеризуется коэффициентом трения \(\mu_1\), а движение в направлении \(BA\) — коэффициентом трения \(\mu_2 < \mu_1\). Если подвергнуть лежащую на столе полоску длины \(l\) циклическому нагреванию-охлаждению, то можно заметить, что полоска перемещается по поверхности стола.
В каком направлении (\(AB\) или \(BA\)) сместится полоска при большом количестве циклов?
На какое расстояние переместится полоска за \(N\) циклов нагревания-охлаждения, если разность максимальной и минимальной температур в цикле равна \(\Delta T\)? Ответ запишите в виде формулы.
Вычислите, на какое расстояние переместится полоска длины \(l = 20\text{ см}\) за \(N = 100\) циклов нагрева-охлаждения при изменении ее температуры на \(\Delta T = 80\,^\circ\text{C}\). Значения коэффициентов трения \(\mu_1 = 0{,}15\), \(\mu_2 = 0{,}05\).
Считайте, что при изменении температуры полиэтилена на \(\Delta T\) его длина изменяется на величину \(\Delta l = \alpha l\,\Delta T\), где \(l\) — длина полоски при комнатной температуре, \(\alpha = 2\cdot10^{-4}\,{}^\circ\text{C}^{-1}\) — коэффициент температурного расширения полиэтилена. Полоска имеет постоянную толщину, не изгибается и прижимается к столу равномерно всей поверхностью. Нагревание и охлаждение происходят медленно.
▶ПодсказкаСкрыть
Найдите точку полоски, в которой сила трения со стороны стола при нагреве обращается в ноль: суммарные силы трения, действующие на левую и правую части, должны уравновеситься.
▶ОтветСкрыть
1) влево; 2) \(\Delta X = N\,\dfrac{\mu_1-\mu_2}{\mu_1+\mu_2}\,l\,\alpha\,\Delta T\); 3) \(\Delta X = 16\text{ см}\).
▶РешениеСкрыть
При нагреве различные участки полоски движутся относительно стола в противоположных направлениях. Существует точка, неподвижная относительно стола: её положение определяется равенством сил трения, действующих на полоску справа и слева. Пусть расстояние от этой точки до левого конца полоски при нагреве равно \(x_1\), при охлаждении — \(x_2\).
При нагреве \(\mu_1 m\dfrac{l-x_1}{l}g = \mu_2 m\dfrac{x_1}{l}g\), откуда \(x_1 = \dfrac{\mu_1}{\mu_1+\mu_2}\,l\). Левый край полоски сместится при нагреве влево на \(x' = x_1\alpha\Delta T\).
При охлаждении аналогично \(\mu_1 m\dfrac{x_2}{l}g = \mu_2 m\dfrac{l-x_2}{l}g\), откуда \(x_2 = \dfrac{\mu_2}{\mu_1+\mu_2}\,l\), и левый край смещается при охлаждении вправо на \(x'' = x_2\alpha\Delta T\).
За один цикл левый край и вся полоска смещаются влево на \[\Delta x = x' - x'' = \frac{\mu_1-\mu_2}{\mu_1+\mu_2}\,l\,\alpha\,\Delta T > 0 .\] Так как \(\mu_2 < \mu_1\), полоска смещается влево. За \(N\) циклов смещение \(\Delta X = N\,\Delta x\). Подстановка \(l = 0{,}20\) м, \(\alpha\Delta T = 0{,}016\), \(\mu_1 = 0{,}15\), \(\mu_2 = 0{,}05\), \(N = 100\) даёт \(\Delta X = 0{,}16\) м \(= 16\) см.
зад 2 Газовая батарея
На вход гладкой прямолинейной трубы постоянного сечения \(S\), ось которой горизонтальна, поступает идеальный многоатомный газ, движущийся со скоростью \(v_1\). Давление газа на входе в трубу равно \(P_1\), плотность — \(\rho_1\). Давление газа на выходе из трубы равно \(P_2 = P_1 + \Delta P\). Определите:
плотность \(\rho_2\) и скорость \(v_2\) газа на выходе из трубы;
отношение температур газа \(T_2/T_1\) на выходе и на входе в трубу соответственно;
тепловую мощность \(N\), выделяемую трубой в окружающую среду.
Считайте, что в любом сечении трубы плотность и давление газа постоянны и не зависят от времени. Вязким трением можно пренебречь.
▶ОтветСкрыть
1) \(\rho_2 = \dfrac{\rho_1^2 v_1^2}{\rho_1 v_1^2 - \Delta P}\), \(v_2 = v_1 - \dfrac{\Delta P}{\rho_1 v_1}\); 2) \(\dfrac{T_2}{T_1} = \left(1+\dfrac{\Delta P}{P_1}\right)\left(1-\dfrac{\Delta P}{\rho_1 v_1^2}\right)\); 3) \(N = \rho_1 S v_1\left[\dfrac{v_1^2}{2}\left(1-\left(1-\dfrac{\Delta P}{\rho_1 v_1^2}\right)^2\right) + \dfrac{4P_1}{\rho_1}\left(1-\left(1+\dfrac{\Delta P}{P_1}\right)\left(1-\dfrac{\Delta P}{\rho_1 v_1^2}\right)\right)\right]\).
▶РешениеСкрыть
Поскольку система стационарна, масса газа в трубе постоянна. Массовый расход \(\mu = \rho_1 S v_1 = \rho_2 S v_2\).
Изменение импульса газа в трубе за время \(dt\) равно \(dp_x = (P_1 - P_2)S\,dt\) и одновременно \(dp_x = \mu(v_2 - v_1)\,dt\). Отсюда \(v_2 = v_1 - \dfrac{\Delta P}{\rho_1 v_1}\), а из \(\mu = \rho_2 S v_2\) получаем \(\rho_2 = \dfrac{\rho_1^2 v_1^2}{\rho_1 v_1^2 - \Delta P}\).
Из уравнения состояния идеального газа для порций газа на входе и на выходе \[\frac{T_2}{T_1} = \frac{P_2\rho_1}{P_1\rho_2} = \frac{P_2 v_2}{P_1 v_1} = \left(1+\frac{\Delta P}{P_1}\right)\left(1-\frac{\Delta P}{\rho_1 v_1^2}\right).\]
Закон сохранения энергии для стационарного потока (с учётом работы сил давления и энтальпии \(C_P T/M\)) даёт тепловую мощность \[N = \mu\left[\frac{v_1^2-v_2^2}{2} + \frac{C_P}{M}(T_1-T_2)\right].\] Для многоатомного газа \(C_P = 4R\), поэтому \(\dfrac{C_P}{M}T = \dfrac{4P}{\rho}\). Подставляя \(v_2\) и \(T_2/T_1\), получаем ответ из блока выше.
зад 3 Что измеряют омметром?
В соответствии с одной из моделей омметра он состоит из идеального источника постоянного напряжения \(\mathcal{E}\) (с нулевым внутренним сопротивлением) и соединённых с ним последовательно резистора сопротивлением \(r\) и идеального амперметра (рис. 2). При подключении исследуемого резистора к клеммам \(A\) и \(B\) встроенный амперметр показывает силу тока, которая затем пересчитывается в величину измеряемого сопротивления и отображается на индикаторе омметра. Если подключить к выводам такого омметра диод, вольт-амперная характеристика которого приведена на рис. 3, то он покажет сопротивление \(R_D = 6\) кОм.
Если к этому диоду добавить последовательно резистор сопротивлением \(R = 20\) кОм и измерить сопротивление получившейся пары омметром, то он покажет \(R_1 = 30\) кОм. Если вместо резистора и диода подключить к омметру идеальную батарейку с напряжением \(U_{\text{Б}} = 3\) В (полярность подключения неизвестна!), то он покажет отрицательное сопротивление \(R_{\text{Б}} = -7{,}5\) кОм (\(R_{\text{Б}} < 0\)). По этим данным определите:
величину напряжения \(\mathcal{E}\) внутреннего источника омметра;
величину внутреннего сопротивления \(r\) омметра;
напряжение \(U_0\), при котором открывается диод;
показания \(R_{\text{Б}1}\) омметра при подключении к нему той же батарейки, но с изменением полярности.
Примечание: амперметр, встроенный в омметр, измеряет силу тока с учётом его направления. Если ток течёт через амперметр в обратном направлении, то его величина определяется как отрицательная. Омметр выполняет все вычисления с учётом знаков.
▶ПодсказкаСкрыть
Для резистора показание омметра равно \(\mathcal{E}/I - r\). Запишите ток через диод в прямом направлении двумя способами: через ВАХ диода и через показания омметра.
▶ОтветСкрыть
1) \(\mathcal{E} = 9\text{ В}\); 2) \(r = 30\text{ кОм}\); 3) \(U_0 = 1{,}5\text{ В}\); 4) \(R_{\text{Б}1} = 15\text{ кОм}\).
▶РешениеСкрыть
Показание омметра связано с током: \(R_{\text{изм}} = \dfrac{\mathcal{E}}{I} - r\). Для диода в прямом направлении ток \(I_D = \dfrac{\mathcal{E}-U_0}{r}\), а по показанию омметра \(I_D = \dfrac{\mathcal{E}}{r+R_D}\). Аналогично для пары диод и резистор: \(\dfrac{\mathcal{E}-U_0}{r+R} = \dfrac{\mathcal{E}}{r+R_1}\). Деля второе соотношение на первое, получаем \(\dfrac{r}{r+R} = \dfrac{r+R_D}{r+R_1}\), откуда \[r = \frac{R R_D}{R_1 - R_D - R} = 30~\text{кОм}.\] Далее \(U_0 = \mathcal{E}\dfrac{R_D}{r+R_D}\) (см. выше).
Для батарейки возможны два случая. Случай «а»: батарейка включена так же, как источник омметра (ток превосходит ток короткого замыкания, показание отрицательно): \(I_{\text{Б}} = \dfrac{\mathcal{E}+U_{\text{Б}}}{r} = \dfrac{\mathcal{E}}{r+R_{\text{Б}}}\), откуда \(\mathcal{E} = -U_{\text{Б}}\dfrac{r+R_{\text{Б}}}{R_{\text{Б}}} = 9\) В. Тогда \(U_0 = \dfrac{\mathcal{E}}{6} = 1{,}5\) В.
Случай «б»: батарейка включена навстречу источнику; тогда получаем \(\mathcal{E} = U_{\text{Б}}\dfrac{r+R_{\text{Б}}}{R_{\text{Б}}} = -9\) В, что противоречит условию, поэтому реализуется только случай «а».
При изменении полярности батарейки \(\dfrac{\mathcal{E}-U_{\text{Б}}}{r} = \dfrac{\mathcal{E}}{r+R_{\text{Б}1}}\), откуда \(R_{\text{Б}1} = r\dfrac{U_{\text{Б}}}{\mathcal{E}-U_{\text{Б}}} = 15\) кОм.
зад 4 Частично заряженный цилиндр
Бесконечный тонкостенный диэлектрический цилиндр радиуса \(R\) разбили вдоль оси вращения на равные «четвертинки». Две противолежащие четвертинки зарядили равномерно с поверхностной плотностью заряда \(\sigma > 0\), а другие две оставили незаряженными. Найдите векторы напряжённости электрического поля цилиндра в точках, близких к его центру и имеющих координаты \((x; 0)\) и \((0; y)\). Считайте \(x, y \ll R\). Координатные оси \(OX\) и \(OY\) направлены вдоль биссектрис прямых углов (рис. 4).
▶ПодсказкаСкрыть
Поле бесконечно длинной заряженной нити на расстоянии \(r\) равно \(\lambda/(2\pi\varepsilon_0 r)\). Разбейте заряженную часть на тонкие полоски и воспользуйтесь принципом суперпозиции: равномерно заряженный цилиндр создаёт внутри нулевое поле.
▶ОтветСкрыть
В точке \((x;0)\): \(E_x = -\dfrac{\sigma x}{\pi R\varepsilon_0}\), \(E_y = 0\) (поле направлено к оси цилиндра); в точке \((0;y)\): \(E_y = \dfrac{\sigma y}{\pi R\varepsilon_0}\), \(E_x = 0\) (поле направлено от оси цилиндра).
▶РешениеСкрыть
Поле нити с линейной плотностью \(\lambda\) на расстоянии \(r\) равно \(E = \dfrac{\lambda}{2\pi r\varepsilon_0}\) (по теореме Гаусса). Поле цилиндра в точке \((x;0)\) найдём, выделив две симметричные полоски шириной \(dS\) на заряженных четвертинках (рис.). Из подобия треугольников их заряды \(\sigma\,dL_1\) и \(\sigma\,dL_2\) создают противоположно направленные поля, которые компенсируются в направлении \(OY\).
Полоски шириной \(dS = x\sqrt{2}\) каждая создаёт поле \(E_0 = \dfrac{\sigma x\sqrt{2}}{2\pi R\varepsilon_0}\) в направлении, перпендикулярном их диагонали. Поля двух полосок в направлении \(OY\) компенсируются, а проекция на ось \(OX\) равна \(E_x = -\dfrac{\sigma x}{\pi R\varepsilon_0}\): результирующее поле направлено к оси цилиндра.
Для точки \((0;y)\) представим исходный цилиндр как суперпозицию полностью заряженного цилиндра с поверхностной плотностью \(+\sigma\) и двух четвертинок с поверхностной плотностью \(-\sigma\) (рис.). Равномерно заряженный цилиндр в точках, близких к центру, создаёт нулевое поле. Поле двух отрицательно заряженных четвертинок аналогично найденному выше и даёт \(E_{1y} = \dfrac{\sigma y}{\pi R\varepsilon_0}\), \(E_{1x} = 0\). По принципу суперпозиции \(E_y = \dfrac{\sigma y}{\pi R\varepsilon_0}\), \(E_x = 0\); поле направлено от оси цилиндра.
зад 5 Разлетающиеся зонды
Два автономных исследовательских зонда движутся навстречу друг другу с выключенными двигателями в глубоком космосе вдали от других тел курсами, пересекающимися под прямым углом. Масса первого зонда равна \(m_1 = m\), а его скорость \(v_1 = v\). Масса второго зонда \(m_2 = 4m\), а скорость \(v_2 = v/3\). В момент времени, когда расстояние между зондами становится равным \(L\), а расстояние от первого зонда до точки пересечения траекторий — \(x\), на обоих зондах включаются двигатели с постоянной по модулю силой тяги \(F\), при этом вектор силы тяги в любой момент времени направлен противоположно направлению на другой зонд. Рисунок приведён для момента включения двигателей. Двигатели выключаются, когда расстояние между зондами становится равным \(2L\). Размеры зондов малы по сравнению с \(L\), а их гравитационным взаимодействием можно пренебречь.
При каком значении \(x = x_{\text{кр}}\) произошло бы столкновение зондов, если бы двигатели на них не включались?
Найдите минимальное значение силы тяги \(F_{\text{мин}}\), при котором зонды не столкнутся, если \(x = x_{\text{кр}}\).
Пусть величины сил тяги двигателей равны \(F = F_{\text{мин}} + dF\) (\(dF \ll F_{\text{мин}}\)), а \(x = x_{\text{кр}}\). Найдите вектор конечной скорости первого зонда в виде \(\alpha\vec v_1 + \beta\vec v_2\).
Пусть сила тяги двигателей равна \(F\), а \(x = x_1\) (\(x_1 > x_{\text{кр}}\)). Найдите модуль конечной скорости первого зонда относительно второго.
▶ПодсказкаСкрыть
Перейдите в систему отсчёта, связанную с первым зондом, и запишите закон изменения кинетической энергии второго зонда. Затем выделите систему центра масс: внешних сил на систему двух зондов нет.
▶ОтветСкрыть
1) \(x_{\text{кр}} = \dfrac{3L}{\sqrt{10}}\); 2) \(F_{\text{мин}} = \dfrac{4mv^2}{9L}\); 3) \(\vec v_{1к} = \dfrac{1-4\sqrt{2}}{5}\,\vec v_1 + \dfrac{4(1+\sqrt{2})}{5}\,\vec v_2\); 4) \(v_{\text{отн}} = \sqrt{\dfrac{10v^2}{9} + \dfrac{5FL}{2m}}\).
▶РешениеСкрыть
1) Без двигателей зонды встретятся в точке пересечения траекторий, если время их движения до этой точки совпадает: \(\dfrac{x}{v} = \dfrac{3\sqrt{L^2-x^2}}{v}\), откуда \(x_{\text{кр}} = \dfrac{3L}{\sqrt{10}}\).
2) При \(x = x_{\text{кр}}\) относительная скорость \(\vec v_{\text{отн}0} = \vec v_2 - \vec v_1\) направлена вдоль линии, соединяющей зонды, и силы тяги сохраняют направление. В системе первого зонда на второй действуют сила тяги и сила инерции \(\vec F_{\text{и}} = -m_2\vec F/m_1\). Закон изменения кинетической энергии относительного движения: \[\frac{m_2 v_{\text{отн}}^2}{2} - \frac{m_2 v_{\text{отн}0}^2}{2} = -F\left(1+\frac{m_2}{m_1}\right)(L-S).\] Минимальная сила соответствует нулевой относительной скорости при \(S=0\): \[F_{\text{мин}} = \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}\cdot\frac{v_{\text{отн}0}^2}{2L} = \frac{4mv^2}{9L}, \qquad v_{\text{отн}0}^2 = \frac{10v^2}{9}.\]
3) Внешних сил нет, поэтому скорость центра масс \(\vec v_C = \dfrac{\vec v_1 + 4\vec v_2}{5}\) постоянна. При \(F = F_{\text{мин}}\) к моменту \(S = 2L\) модуль относительной скорости равен \(\sqrt{2}\,v_{\text{отн}0}\), а направление меняется на противоположное: \(\vec v_{\text{отн}} = -\sqrt{2}\,\vec v_{\text{отн}0}\). Скорость первого зонда относительно центра масс \(\vec v_{1\,\text{отн}C} = -\dfrac{4}{5}\vec v_{\text{отн}} = \dfrac{4\sqrt{2}}{5}\,(\vec v_2 - \vec v_1)\). Тогда \[\vec v_{1к} = \vec v_C + \vec v_{1\,\text{отн}C} = \frac{1-4\sqrt{2}}{5}\,\vec v_1 + \frac{4(1+\sqrt{2})}{5}\,\vec v_2 .\]
4) При \(x_1 > x_{\text{кр}}\) относительное движение перестаёт быть прямолинейным, но работа сил тяги и инерции на пути от \(S = L\) до \(S = 2L\) не зависит от формы траектории: \[\frac{m_2}{2}\left(v_{\text{отн}}^2 - v_{\text{отн}0}^2\right) = FL\,\frac{m_1+m_2}{m_1},\] откуда \(v_{\text{отн}}^2 = \dfrac{10v^2}{9} + \dfrac{5FL}{2m}\).
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2020/21, заключительный этап, 10 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.