зад 1 Куда упадет шарик?
С лодки, движущейся по течению реки, опускают в воду металлический шарик. Шарик падает на дно реки на расстоянии \(l_1\) по горизонтали от места, где его опустили в воду. Если опустить в воду шарик с лодки, движущейся против течения, то шарик падает на дно на расстоянии \(l_2\) ниже по течению. Для лодки, переплывающей реку по траектории, перпендикулярной течению реки, расстояние до точки падения на дно составляет \(l_3\).
Чему равно расстояние до точки падения на дно для лодки, движущейся в озере той же глубины, что и река?
Во сколько раз скорость лодки больше скорости течения?
Величина проекции скорости шарика на вертикальное направление при падении в воду равна нулю, закон зависимости силы сопротивления при движении шарика в воде неизвестен, все расстояния отсчитываются по горизонтали от места падения шарика в воду до места падения его на дно. Течение реки и её глубина везде одинаковы. Двигатель лодки развивает постоянную силу тяги независимо от направления движения.
▶ПодсказкаСкрыть
В системе отсчёта, связанной с водой, лодка движется с одной и той же скоростью при любом направлении. Значит, смещение шарика относительно воды одинаково во всех трёх случаях, а смещение воды относительно берега за время падения — общее.
▶ОтветСкрыть
1) \(l = \dfrac{l_1-l_2}{2}\); 2) \(\dfrac{v}{u} = \dfrac{l_1^2-l_2^2}{l_1^2+l_2^2-2l_3^2}\).
▶РешениеСкрыть
В системе отсчёта, связанной с водой, скорость лодки \(v\) одинакова при любом направлении движения, поэтому смещение \(l\) шарика относительно места падения одинаково во всех случаях. Время движения шарика в воде \(\tau\) тоже одинаково. В системе отсчёта, связанной с землёй, смещения шарика равны \(l_1 = l + u\tau\) и \(l_2 = u\tau - l\), где \(u\) — скорость течения. Отсюда \(l = \dfrac{l_1-l_2}{2}\) и \(u\tau = \dfrac{l_1+l_2}{2}\).
При движении перпендикулярно течению расстояние \(l_3\) определяется теоремой косинусов: \(l_3^2 = l^2 - 2l\,u\tau\cos\alpha + (u\tau)^2\), где \(\cos\alpha = \dfrac{u}{v}\). Подставляя \(l\) и \(u\tau\), получаем \(\dfrac{v}{u} = \dfrac{l_1^2-l_2^2}{l_1^2+l_2^2-2l_3^2}\).
зад 2 «Буль-буль»
В реакторе в водном растворе некоторого вещества в результате химической реакции выделяется тепло с мощностью \(N = 5\) кВт. Для регулирования температуры в реактор через трубки с маленькими отверстиями, проложенными на дне реактора, продувается воздух. Давление воздуха, подаваемого в реактор, можно считать равным атмосферному \(P_0 = 10^5\) Па, температуру — равной температуре помещения \(T_0 = 22\,^\circ\text{C}\). Определите объёмный расход воздуха \(q\), необходимый для поддержания в реакторе температуры \(T < T_K\), где \(T_K = 100\,^\circ\text{C}\) — температура кипения водного раствора при атмосферном давлении. Считайте \(T_K - T \ll T_K\). Определите численное значение \(q\) для \(T = 95\,^\circ\text{C}\).
Молярная теплота испарения при температуре \(T\) для воды известна: \(\lambda = 40\) кДж/моль. Давление насыщенного водяного пара вблизи \(T_K\) меняется практически линейно с коэффициентом \(\alpha = 3{,}5\) кПа/\(^\circ\)C. Давление насыщенного пара над раствором в точности соответствует давлению насыщенного водяного пара. Теплотой, идущей на нагрев воздуха, можно пренебречь. Перепад давления на отводящей из реактора газ трубке пренебрежимо мал. В отсутствие подачи воздуха в реактор теплообмена с окружающей средой нет.
▶ПодсказкаСкрыть
Пузырьки воздуха насыщаются паром, а общее давление в них равно атмосферному. Сравните число молей пара, образующегося за счёт тепла реакции, с числом молей воздуха.
▶ОтветСкрыть
\(q = \dfrac{N R T_0\,\alpha\,(T_K-T)}{P_0\,\lambda\,\bigl(P_0-\alpha(T_K-T)\bigr)} \approx 6{,}5\cdot10^{-4}\text{ м}^3/\text{с}\) при \(T = 95\,^\circ\text{C}\).
▶РешениеСкрыть
За время \(\tau\) через трубки проходит \(\nu_1 = \dfrac{P_0 q\tau}{RT_0}\) молей воздуха. Тепло реакции \(N\tau\) идёт на испарение \(\nu_2 = \dfrac{N\tau}{\lambda}\) молей воды.
Давление внутри пузырьков равно атмосферному и складывается из давления насыщенного пара \(P_{\text{п}} = P_0 - \alpha(T_K-T)\) и давления воздуха \(P_{\text{в}} = P_0 - P_{\text{п}} = \alpha(T_K-T)\). Отношение числа молей пара и воздуха равно отношению их парциальных давлений: \[\frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{P_0-\alpha(T_K-T)}{\alpha(T_K-T)} = \frac{NRT_0}{\lambda P_0 q}.\] Отсюда \(q = \dfrac{NRT_0\,\alpha(T_K-T)}{P_0\lambda\bigl(P_0-\alpha(T_K-T)\bigr)}\). При \(T = 95\,^\circ\)C, \(\alpha(T_K-T) = 17{,}5\) кПа, и \(q \approx 6{,}5\cdot10^{-4}\) м\(^3\)/с.
зад 3 Пластина с шайбой
Часть 1. Тонкий стержень из диэлектрика равномерно заряжен с линейной плотностью заряда \(\lambda\). Точка \(A\) расположена на расстоянии \(h\) от стержня и равноудалена от его концов. Стержень виден из точки \(A\) под углом \(2\varphi\) (рис. 1). Определите напряжённость электрического поля в точке \(A\).
Часть 2. Тонкая диэлектрическая квадратная пластина с длиной стороны \(L\) равномерно заряжена с поверхностной плотностью \(\sigma > 0\). В точку \(A\), смещённую в плоскости пластины на малое расстояние \(r \ll L\) относительно её центра (т. \(O\)) под углом \(\alpha = 60^\circ\) к стороне квадрата (рис. 2), помещают маленькую гладкую диэлектрическую шайбу массы \(m\) с зарядом \(q < 0\). Шайбу отпускают без начальной скорости.
Определите величину и направление ускорения шайбы сразу после того, как её отпустили.
Через какое время шайба впервые окажется на минимальном расстоянии от центра пластины?
Силы тяжести нет, пластина закреплена.
▶ПодсказкаСкрыть
Для части 1 удобно выразить поле элемента стержня через угол, под которым он виден из точки \(A\). Для части 2 при \(r \ll L\) поле пластины линейно по \(r\).
▶ОтветСкрыть
Часть 1: \(E = \dfrac{\lambda\sin\varphi}{2\pi\varepsilon_0 h}\).
2.1) \(|a| = \dfrac{\sqrt{2}\,r\sigma|q|}{\pi\varepsilon_0 mL}\), направлено к центру пластины \(O\) (вдоль \(AO\)); 2.2) \(t = \dfrac{T}{4} = \sqrt{\dfrac{\pi^3\varepsilon_0 mL}{4\sqrt{2}\,\sigma|q|}}\).
▶РешениеСкрыть
Часть 1. Элемент стержня, видимый из \(A\) под углом \(d\theta\), имеет длину \(dl = \dfrac{r\,d\theta}{\cos\theta}\), где \(r = \dfrac{h}{\cos\theta}\) — расстояние до точки \(A\). Его поле \(dE = \dfrac{\lambda\,dl\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \dfrac{\lambda\cos\theta\,d\theta}{4\pi\varepsilon_0 h}\). Интегрируя по \(\theta\) от \(-\varphi\) до \(\varphi\), получаем \(E = \dfrac{\lambda\sin\varphi}{2\pi\varepsilon_0 h}\).
Часть 2. При \(r \ll L\) поле квадрата заменяем полем двух тонких полосок (оставшаяся часть квадрата по симметрии не даёт составляющей поля в плоскости пластины в точке \(A\)). Полоски имеют линейные плотности \(\lambda_1 = 2r\sigma\sin\alpha\) и \(\lambda_2 = 2r\sigma\cos\alpha\). Каждая создаёт поле \(E_{1,2} = \dfrac{\lambda_{1,2}}{\sqrt{2}\,\pi\varepsilon_0 L}\), перпендикулярное своему стержню; эти поля взаимно перпендикулярны. Суммарное поле \[E = \frac{\sqrt{\lambda_1^2+\lambda_2^2}}{\sqrt2\,\pi\varepsilon_0 L} = \frac{\sqrt2\,r\sigma}{\pi\varepsilon_0 L}\] направлено от центра пластины, т.е. для \(q < 0\) сила и ускорение направлены к \(O\).
Ускорение \(|a| = \dfrac{|q|E}{m} = \dfrac{\sqrt2\,r\sigma|q|}{\pi\varepsilon_0 mL}\) пропорционально смещению \(r\), т.е. движение гармоническое вдоль \(AO\) с коэффициентом \(k = \dfrac{\sqrt{2}\sigma|q|}{\pi\varepsilon_0 L}\) и периодом \(T = 2\pi\sqrt{m/k} = \sqrt{\dfrac{2\sqrt2\,\pi^3\varepsilon_0 mL}{\sigma|q|}}\). Шайба, отпущенная без скорости, впервые окажется в центре через \(T/4\).
зад 4 Виток в витке
Индуктивность кольца радиуса \(R\), сделанного из тонкой проволоки, равна \(L\).
Найдите индуктивность проволочного кольца, у которого все геометрические размеры в 2 раза больше.
Если в плоскости кольца радиуса \(R\) поместить сверхпроводящее колечко с вдвое меньшими геометрическими размерами так, чтобы плоскости колец и их центры совпадали (рис. 3), то индуктивность кольца радиуса \(R\) оказывается равной \(L_1\).
Какой станет индуктивность кольца \(L_2\) радиуса \(R\) при помещении его внутрь сверхпроводящего кольца со вдвое большими геометрическими размерами? Плоскости и центры колец во втором случае также совпадают.
▶ОтветСкрыть
1) \(2L\); 2) \(L_2 = L_1\).
▶РешениеСкрыть
Индуктивность кольца пропорциональна его размеру: при уменьшении размеров в 2 раза индукция в каждой точке растёт в 2 раза, а площадь падает в 4 раза, поэтому магнитный поток через плоскость кольца пропорционален радиусу, и индуктивность кольца \(2R\) равна \(2L\).
Пусть \(M\) — взаимная индуктивность колец радиусов \(R\) и \(R/2\). По подобию взаимная индуктивность колец \(R\) и \(2R\) равна \(2M\), а индуктивности колец \(R/2\) и \(2R\) равны \(L/2\) и \(2L\) соответственно.
В первом случае поток через сверхпроводящее колечко равен нулю: \(MI + \dfrac{L}{2}I_1 = 0\), откуда \(I_1 = -\dfrac{2M}{L}I\). Поток через кольцо радиуса \(R\): \(L_1 = L - \dfrac{2M^2}{L}\).
Во втором случае \(2MI + 2LI_2 = 0\), т.е. \(I_2 = -\dfrac{M}{L}I\), и \(L_2 = L - \dfrac{2M^2}{L} = L_1\).
зад 5 Прозрачный слой
В шаре радиуса \(2R\) из оптически прозрачного материала имеется сферическая полость радиуса \(R\). Центры шара и полости совпадают. Внутри полости воздух. Из воздуха снаружи на поверхность шара падает луч света (рис. 4). При каких значениях угла падения луча на поверхность шара \(\alpha\) луч проникнет внутрь полости? Рассмотрите два случая:
Показатель преломления вещества шара постоянен и равен \(n = 2\).
Показатель преломления вещества шара линейно уменьшается при увеличении расстояния \(r\) от центра: \(n(r) = 2{,}5 - 0{,}5\,\dfrac{r}{R}\), \(R \le r \le 2R\). Показатель преломления воздуха считать равным \(n_0 = 1\).
▶ОтветСкрыть
1) \(\alpha < 30^\circ\); 2) \(\alpha < 30^\circ\) (при всех таких углах луч достигает границы полости и проникает внутрь).
▶РешениеСкрыть
Случай 1. Чтобы луч попал внутрь полости, он должен дойти до её поверхности и угол падения на неё должен быть меньше предельного угла полного внутреннего отражения \(\varphi_{\text{пред}} = \arcsin(1/n)\). Из теоремы синусов для треугольника \(OAB\) угол падения на полость связан с углом падения на шар соотношением \(\sin\varphi = \dfrac{2\sin\alpha}{n}\). Условие \(\sin\varphi < \dfrac1n\) даёт \(\sin\alpha < \dfrac12\), т.е. \(\alpha < 30^\circ\).
Случай 2. Для слоя с переменным показателем преломления сохраняется величина \(n(r)\,r\sin\varphi(r)\) (закон преломления для сферически-симметричной среды). На внешней поверхности шара \(n(2R)\cdot 2R\sin\varphi = 2R\sin\alpha\), отсюда при \(r = R\) (внутренняя поверхность полости) \(n(R)\sin\varphi(R) = 2\sin\alpha\). Условие попадания в полость \(\sin\varphi(R) < \dfrac{1}{n(R)} = \dfrac12\) даёт снова \(\sin\alpha < \dfrac12\), т.е. \(\alpha < 30^\circ\). Функция \(f(r) = n(r)\,r = 2{,}5r - 0{,}5\dfrac{r^2}{R}\) на отрезке \(R \le r \le 2R\) монотонно возрастает, поэтому угол \(\varphi\) не может стать \(90^\circ\) раньше, чем луч достигнет внутренней поверхности: при всех \(\alpha < 30^\circ\) луч проникает в полость.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2020/21, заключительный этап, 11 класс, теоретический тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.