ВсОШ, 2020/21, заключительный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

Перейдите в систему отсчёта, связанную с водой. В ней скорость плота направлена под углом \(45^\circ\) к берегу. Какой треугольник образуют точки старта, положения плота и точка сноса?

Ответ

\(u \approx 3{,}14\) м/с.

Решение

В системе отсчёта, связанной с водой, плот движется под углом \(45^\circ\) к берегу (это следует из закона сложения скоростей), и за время \(t\) перемещается на расстояние \(OA\). За это же время река сносит его на расстояние \(AB = ut\). Заметим, что расстояние \(AH = OH = d\).

С учётом теоремы Пифагора \((HB)^2 = l^2 - d^2\) и соотношения \(ut = AH + HB\) получаем \[u = \frac{\sqrt{l^2 - d^2} + d}{t}.\] Подставив значения, найдём \(u \approx 3{,}14\) м/с.

Подсказка

Ускорение танка при движении по окружности с постоянной скоростью направлено к центру. Сила трения покоя должна обеспечить и это ускорение, и составляющую силы тяжести вдоль плоскости.

Ответ

1) \(\tau_{min} = \dfrac{2\pi R}{v_{max}} = \dfrac{2\pi}{\sqrt{\mu\cos\alpha - \sin\alpha}}\sqrt{\dfrac{R}{g}}\) (при \(\mu > \mathrm{tg}\,\alpha\));  2) \(\sin\gamma = \dfrac{\sin\alpha}{\mu\cos\alpha - \sin\alpha} = \dfrac{\mathrm{tg}\,\alpha}{\mu - \mathrm{tg}\,\alpha}\).

Решение

1. Ускорение танка, движущегося с постоянной скоростью \(v\) по окружности, равно \(a = \dfrac{v^2}{R}\) и в любой точке направлено вдоль наклонной плоскости к центру окружности. В плоскости движения на танк действуют сила трения покоя \(F_{тр}\) (гусеницы не проскальзывают), составляющая силы тяжести вдоль плоскости \(F = mg\sin\alpha\); в перпендикулярном направлении — сила нормальной реакции \(N = mg\cos\alpha\).

Сила трения покоя может принимать любое значение из интервала \(0 < F_{тр} < \mu mg\cos\alpha\). Из второго закона Ньютона \(\vec F_{тр} = m\vec a - \vec F\). Модуль разности векторов \(m\vec a\) и \(\vec F\) максимален, когда они направлены противоположно, т.е. в нижней точке траектории. Танк сможет пройти всю траекторию с постоянной скоростью \(v\), если выполнится условие \[m\frac{v^2}{R} \le \mu mg\cos\alpha - mg\sin\alpha,\] которое определяет максимальную скорость \(v_{max} = \sqrt{gR(\mu\cos\alpha - \sin\alpha)}\) и минимальное время движения по окружности \(\tau_{min} = \dfrac{2\pi R}{v_{max}}\). Разумеется, это справедливо при \(\mu > \mathrm{tg}\,\alpha\); иначе танк без проскальзывания не смог бы даже стоять на месте.

2. Найдём максимальный угол между вектором силы трения и вектором ускорения. Так как вектор \(m\vec a\) имеет фиксированную величину, но разное направление в разных точках траектории, а вектор \(\vec F\) — фиксированные величину и направление, концы векторов сил трения лежат на окружности радиуса, равного модулю \(m\vec a\), а их начала находятся в точке, сдвинутой на величину \(\vec F\) относительно центра этой окружности.

Возможны два случая. 1) Если модуль \(\vec F\) больше модуля \(m\vec a\), т.е. \(\mu < 2\,\mathrm{tg}\,\alpha\) (малое трение), сдвиг окружности больше её радиуса, и угол \(\gamma\) между \(m\vec a\) и силой трения изменяется от \(0^\circ\) до \(180^\circ\); максимальное значение \(\gamma = 180^\circ\). 2) Если модуль \(\vec F\) меньше модуля \(m\vec a\), т.е. \(\mu > 2\,\mathrm{tg}\,\alpha\) (большое трение), существует максимальный угол между этими векторами. Для его нахождения применим теорему синусов к треугольнику сил: \[\frac{F}{\sin\gamma} = \frac{ma}{\sin\beta},\] где \(\beta\) — угол между вектором силы трения и вектором \(-\vec F\). Модули \(m\vec a\) и \(\vec F\) неизменны во всех точках траектории, поэтому \(\gamma\) максимален, когда максимален \(\sin\beta\), т.е. \(\beta = 90^\circ\). Тогда \[\sin\gamma = \frac{\sin\alpha}{\mu\cos\alpha - \sin\alpha} = \frac{\mathrm{tg}\,\alpha}{\mu - \mathrm{tg}\,\alpha}.\]

Подсказка

Стакан работает как сифон: он периодически опоражнивается. Найдите период работы сифона и в каждом цикле запишите уравнение теплового баланса для бака.

Ответ

1) см. график в решении;  2) \(t \approx 43{,}3\,^\circ\)C;  3) \(t_{max} = 55\,^\circ\)C.

Решение

1. Стакан с отводной трубкой работает по принципу сифона. Первый раз уровень воды в нём повышается в течение времени \(5\tau\). После заполнения горизонтальной части трубки вода быстро отводится из стакана, и её уровень опускается на \(4h\). Далее процесс повторяется с периодичностью \(4\tau\). Таким образом, за первые \(5\tau\) в бак поступает только холодная вода, и в первом теплообмене принимает участие \(4\tau\mu\) горячей воды и \(2\tau\cdot 2\mu\) холодной. Из уравнения теплового баланса \[4\tau\mu c(t_{x1} - t_1) + 4\tau\mu c(t_{x1} - t_2) = 0\] находим температуру в баке после первого теплообмена: \(t_{x1} = \dfrac{t_1 + t_2}{2} = 55\,^\circ\)C.

2. В течение следующего интервала времени \(4\tau\) в бак поступает только холодная вода, и температура содержимого бака понижается до \(t_{x2}\): \(4\tau\mu c(t_{x2} - t_1) + 12\tau\mu c(t_{x2} - t_2) = 0\), откуда \(t_{x2} = \dfrac{t_1 + 3t_2}{4} = 37{,}5\,^\circ\)C.

3. Очередная порция горячей воды массой \(4\tau\mu\) повышает температуру бака до \(t_{x3}\): \(8\tau\mu c(t_{x3} - t_1) + 12\tau\mu c(t_{x3} - t_2) = 0\), откуда \(t_{x3} = \dfrac{2t_1 + 3t_2}{5} = 48\,^\circ\)C.

4. К моменту времени \(10\tau\) в бак добавится ещё \(2\tau\mu\) холодной воды, и к этому моменту температура в баке станет \(t_{x4} = \dfrac{4t_1 + 7t_2}{11} = 45{,}5\,^\circ\)C.

5. За цикл \(4\tau\) в бак добавляется \(4\tau\mu\) горячей и \(8\tau\mu\) холодной воды. Эта смесь имеет среднюю температуру \(t_x\): \(4\tau\mu c(t_x - t_1) + 8\tau\mu c(t_x - t_2) = 0\), откуда \(t_x = \dfrac{t_1 + 2t_2}{3} = 43{,}3\,^\circ\)C. Поэтому через большое время температура в баке установится равной \(t_x = 43{,}3\,^\circ\)C.

4. График зависимости температуры воды в баке от времени: участки, соответствующие уменьшению температуры внутри периодов \(4\tau\), не линейные, а являются участками гипербол. Искомый график (до \(t = 5\tau\) — горизонтальная прямая при \(t = 20\,^\circ\)C, затем скачки до \(55\,^\circ\)C и \(48\,^\circ\)C с гиперболическим спадом):

Максимальная температура в баке достигает \(55\,^\circ\)C (первый скачок) и не превышает этого значения, поскольку последующие максимумы ниже: \(48\,^\circ\)C и далее.

Подсказка

Плотность \(1{,}027\) г/см\(^3\) на графике соответствует двум температурам жидкости: ниже и выше максимума. Рассмотрите оба случая и запишите уравнение теплового баланса для каждого.

Ответ

\(t_0 \approx 19\,^\circ\)C или \(t_0 \approx 28{,}7\,^\circ\)C.

Решение

Рассмотрим первый случай, когда температура ареометров \(t_0\) выше, чем начальная температура жидкости. Тогда начальная температура жидкости (по графику) равна \(21{,}5\,^\circ\)C, а установившаяся в результате теплообмена с ареометром — \(26{,}5\,^\circ\)C. Пусть \(C_ж\) — теплоёмкость жидкости, \(C_а\) — теплоёмкость ареометра. Уравнение теплового баланса: \[C_ж\cdot 5\,^\circ\text{C} = C_а(t_0 - 26{,}5\,^\circ\text{C}).\] После опускания второго ареометра температура жидкости увеличивается и становится равной \(27{,}4\,^\circ\)C. Уравнение теплового баланса для двух ареометров: \[C_ж(27{,}4\,^\circ\text{C} - 21{,}5\,^\circ\text{C}) = 2C_а(t_0 - 27{,}4\,^\circ\text{C}).\] Отсюда \(t_0 = \dfrac{10\cdot 27{,}4\,^\circ\text{C} - 5{,}9\cdot 26{,}5\,^\circ\text{C}}{10 - 5{,}9} = 28{,}7\,^\circ\)C.

Рассмотрим второй случай, когда температура ареометров \(t_0\) ниже, чем начальная температура жидкости. Тогда начальная температура жидкости равна \(26{,}5\,^\circ\)C, а установившаяся в результате теплообмена с первым ареометром — \(21{,}5\,^\circ\)C. Уравнение теплового баланса: \[C_ж\cdot 5\,^\circ\text{C} = C_а(21{,}5\,^\circ\text{C} - t_0).\] После опускания второго ареометра температура жидкости уменьшается и становится равной \(20{,}5\,^\circ\)C: \[C_ж(26{,}5\,^\circ\text{C} - 20{,}5\,^\circ\text{C}) = 2C_а(20{,}5\,^\circ\text{C} - t_0).\] Отсюда \(t_0 = \dfrac{10\cdot 20{,}5\,^\circ\text{C} - 6\cdot 21{,}5\,^\circ\text{C}}{10 - 6} = 19\,^\circ\)C.

Подсказка

Сопротивления амперметров малы, поэтому токи в ветвях определяются вольтметрами, которые можно считать резисторами одинакового сопротивления. Найдите соотношения токов в ветвях по первому правилу Кирхгофа, а затем показания приборов будут пропорциональны этим токам.

Ответ

Вольтметры (кроме \(V_1\)): \(2\) В, \(2\) В, \(1\) В, \(5\) В, \(5\) В; амперметры (кроме \(A_1\)): \(1\) мкА, \(10\) мкА, \(10\) мкА, \(5\) мкА; омметр: \(R = \dfrac{5\,\text{В}}{12\,\text{мкА}} \approx 417\) кОм.

Решение

Роль источника тока в цепи выполняет омметр. Так как сопротивления амперметров малы и цепь не содержит контуров без вольтметров, токи в ветвях определяются вольтметрами, которые можно рассматривать как резисторы с одинаковым сопротивлением \(R_V\). Амперметры заменяются идеальными перемычками, омметр — источником тока.

Обозначим ток через вольтметр \(V_1\) за \(I\). Через вольтметры в соседних ветвях пойдут токи \(2I\) и \(I\), через вольтметры в нижней части цепи — \(5I\); напряжение между узлами \(b\) и \(a\) равно \(5IR_V\), поэтому через вольтметры №5 и №6 идут токи по \(5I\). По первому правилу Кирхгофа находим токи \(6I\) через перемычку с амперметром \(A_1\), \(12I\) через омметр и \(10I\) в нижнем проводе. Показания вольтметров пропорциональны токам через них (при одинаковом \(R_V\)), показания амперметров — токам через них. При \(A_1 = 6\) мкА (т.е. \(I = 1\) мкА) и \(V_1 = 1\) В получаем показания приборов, приведённые на рисунке и в ответе.

Показания омметра: напряжение между узлами \(a\) и \(b\) равно \(5\) В, ток через омметр \(12\) мкА, поэтому \(R = \dfrac{5\,\text{В}}{12\,\text{мкА}} \approx 417\) кОм.