ВсОШ, 2025/26, муниципальный этап, 9 класс

Подсказка

Время движения такси до остановки равно \(S_0/v_т\). Всё остальное следует из того, что электробус тормозит до нуля в точке остановки.

Ответ

1) 54, 36, 34, 45, 58 км/ч (варианты 1–5);  2) \(0{,}375\), \(0{,}100\), \(0{,}075\), \(0{,}625\), \(0{,}500\) м/с\(^2\);  3) 34, 25, 20, 32, 32 км/ч;  4) 117, 245, 211, 61, 77 м.

Решение

Время движения такси от места обгона электробуса до остановки: \(t_т = S_0/v_т\). Время движения электробуса от места обгона до остановки: \(t_э = t + t_т\). Скорость электробуса непосредственно перед началом торможения: \(v_э = a t_э\). Путь электробуса от места обгона до остановки: \(S_0 = v_э t_э - \dfrac{a t_э^2}{2} = \dfrac{a t_э^2}{2}\). Отсюда \[a = \frac{2S_0}{t_э^2} = \frac{2S_0}{\left(\dfrac{S_0}{v_т} + t\right)^2}, \qquad v_э = a t_э = \frac{2S_0}{\dfrac{S_0}{v_т} + t}.\] Скорость электробуса в момент проезда такси мимо остановки: \[v = v_э - a t_т = \frac{2 S_0 t}{\left(\dfrac{S_0}{v_т} + t\right)^2}.\] Расстояние, на которое такси обогнало электробус, равно пути, который электробусу осталось проехать за время \(t\): \[S = v t - \frac{a t^2}{2} = \frac{S_0 t^2}{\left(\dfrac{S_0}{v_т} + t\right)^2}.\]

Подсказка

Температура третьего тела не меняется, значит, второе тело к концу контакта с ним имеет ту же температуру. Для последнего вопроса запишите баланс тепла для всех трёх тел.

Ответ

1) \(24{,}5\), \(5{,}0\), \(31{,}0\), \(72{,}0\), \(85{,}0\) ℃ (варианты 1–5);  2) \(14{,}7\), \(28{,}6\), \(12{,}8\), \(54{,}1\), \(44{,}7\) ℃;  3) \(20{,}0\), \(16{,}8\), \(23{,}0\), \(62{,}0\), \(71{,}0\) ℃.

Решение

5. Так как температура третьего тела не изменилась, то \(t_2' = t_3 = 24{,}5\) ℃.

6. Найдём \(t_1'\) из уравнения теплового баланса: \[\begin{cases} C_1(t_1' - t_1) + C_2(t_2' - t_2) = 0, \\ t_2' = t_3, \end{cases}\] откуда \[t_1' = t_1 + \frac{C_2}{C_1}(t_2 - t_3) \approx 14{,}7~℃.\]

7. Найдём \(t\) из уравнения теплового баланса для всех трёх тел: \[C_1(t - t_1) + C_2(t - t_2) + C_3(t - t_3) = 0, \qquad t = \frac{C_1 t_1 + C_2 t_2 + C_3 t_3}{C_1 + C_2 + C_3} \approx 20{,}0~℃.\]

Подсказка

Манипуляции с ключом не меняют ток и напряжение на лампочке. Значит, можно считать ключ разомкнутым и найти токи в схеме с резисторами \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\).

Ответ

1) \(1{,}5\), \(3{,}0\), \(0{,}6\), \(8{,}0\), \(2{,}0\) В (варианты 1–5);  2) \(1{,}5\), \(3{,}0\), \(0{,}6\), \(8{,}0\), \(2{,}0\) В;  3) 100, 20, 15, 50, 25 мА;  4) 100, 20, 15, 50, 25 мА;  5) \(1{,}5\), \(15{,}0\), \(4{,}0\), \(16{,}0\), \(8{,}0\) Ом.

Решение

Манипуляции с ключом не приводят к изменению тока и напряжения на лампочке, а значит, и на резисторах. Ток через ключ не течёт.

8–9. Напряжение на лампочке \(U = U^*\) равно напряжению на резисторе \(R_1\): \[U = I_1 R_1 = \frac{U_0}{R_1 + R_2} R_1 = 1{,}5~\text{В},\] где \(I_1\) — сила тока, протекающего через резистор \(R_1\).

10–11. Ток через лампочку \(I = I^*\) равен току через резистор \(R_3\): \[I = I_1 \frac{R_2}{R_3} = \frac{U_0}{R_1 + R_2}\cdot\frac{R_2}{R_3} = 100~\text{мА}.\]

12. Сопротивление лампочки при протекании через неё тока \(I\): \[R^* = \frac{U}{I} = \frac{R_1 R_3}{R_2} = 15~\text{Ом}.\] В «холодном» состоянии сопротивление лампочки \(R = \dfrac{1}{10} R^* = 1{,}5\) Ом.

Подсказка

Продифференцируйте соотношение \(v = \tau a\) по времени. Длину полосы найдите, проинтегрировав скорость по времени.

Ответ

1) \(1{,}0\), \(1{,}0\), \(1{,}5\), \(0{,}5\), \(1{,}3\) м/с\(^2\) (варианты 1–5);  2) \(0{,}3\), \(0{,}4\), \(0{,}2\), \(0{,}2\), \(0{,}1\) м/с\(^3\);  3) 200, 25, 50, 100, 160 м.

Решение

13. По условию \(v(t) = \tau\cdot a(t)\). На старте \(a = \dfrac{v_0}{\tau}\).

14. Из уравнения \(v(t) = \tau a(t)\) получим \(\dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \tau\dfrac{\Delta a}{\Delta t}\), то есть \(a(t) = \tau\, j(t)\). На финише \(j = \dfrac{a_1}{\tau} = \dfrac{v_1}{\tau^2}\).

15. Запишем уравнение \(v(t)\) в виде \(\dfrac{\Delta x}{\Delta t} = \tau\dfrac{\Delta v}{\Delta t}\). Сокращая на \(\Delta t\) и суммируя, получим \[l = \tau (v_1 - v_0).\]

Подсказка

В системе тяжёлого шара лёгкий шар упруго отражается от неподвижной плоскости, поэтому модуль его скорости не меняется. Переход в лабораторную систему — сложение скоростей.

Ответ

1) 10, 20, 18, 12, 6 м/с (варианты 1–5);  2) 10, 20, 18, 12, 6 м/с;  3) 13, 26, 24, 16, 8 м/с;  4) \(139^\circ\) для всех вариантов.

Решение

16. Скорость \(v_1\) лёгкого шара в системе отсчёта тяжёлого шара равна сумме скоростей шаров: \(v_1 = 2v_0\).

17. Скорость лёгкого шара в системе отсчёта тяжёлого до и после соударения изменяет направление, но не меняется по модулю: \(v_2 = v_1 = 2v_0\).

18. Удар лёгкого шара о тяжёлый равносилен удару о движущуюся плоскость, наклонённую под углом \(\gamma = 60^\circ\) относительно вектора начальной скорости. Конечная скорость находится из закона сложения скоростей. По теореме косинусов: \[v_3^2 = v_0^2 + (2v_0)^2 - 2 v_0 \cdot 2v_0 \cos 120^\circ = 7 v_0^2, \qquad v_3 = \sqrt{7}\, v_0 \approx 2{,}65\,v_0.\]

19. Пусть \(\delta\) — угол между векторами \(\vec v_3\) и \(2\vec v_0\). Тогда \(\alpha = 120^\circ + \delta\), \[\frac{v_0}{\sin\delta} = \frac{v_3}{\sin 120^\circ}, \qquad \delta = \arcsin\sqrt{\frac{3}{28}} \approx 19^\circ, \qquad \alpha \approx 139^\circ.\]