зад 1 Два тела на наклонной плоскости
На наклонной плоскости, образующей угол \(\alpha = 25^\circ\) с горизонтом, покоится брусок \(A\) массой \(m_A = 1{,}8\) кг. К бруску прикреплена лёгкая нерастяжимая нить, перекинутая через невесомый идеальный блок, закреплённый на вершине плоскости. На другом конце нити подвешен груз \(B\) массой \(m_B = 2{,}3\) кг. Коэффициент трения скольжения между бруском \(A\) и плоскостью равен \(\mu = 0{,}15\). Систему отпускают из состояния покоя (см. рисунок). Ускорение свободного падения примите равным \(g = 10\) м/с\(^2\).
Определите величину ускорения, с которым движется груз \(B\). Ответ выразите в м/с\(^2\), округлив до сотых долей.
Найдите силу натяжения нити. Ответ выразите в ньютонах, округлив до десятых долей.
Какой путь пройдёт груз \(B\) за первые \(t = 0{,}80\) с движения? Ответ выразите в метрах, округлив до сотых долей.
Определите минимальный коэффициент трения \(\mu_{\min}\) между бруском \(A\) и плоскостью, при котором система сохранила бы состояние покоя. Ответ округлите до сотых долей.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите второй закон Ньютона отдельно для груза и для бруска вдоль плоскости, учитывая силу трения на бруске. Для предельного случая покоя сравните силу тяжести груза с максимальной силой трения и составляющей силы тяжести бруска вдоль плоскости.
▶ОтветСкрыть
1) \(3{,}16\) м/с\(^2\); 2) \(15{,}7\) Н; 3) \(1{,}01\) м; 4) \(0{,}94\).
▶РешениеСкрыть
Для груза: \(m_B g - T = m_B a\). Для бруска вдоль плоскости: \(T - m_A g\sin\alpha - \mu m_A g\cos\alpha = m_A a\). Складывая, получаем \(a = \dfrac{m_B g - m_A g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)}{m_A + m_B} = \dfrac{23 - 10{,}05}{4{,}1} \approx 3{,}16\) м/с\(^2\). Натяжение \(T = m_B(g - a) = 2{,}3\cdot6{,}84 \approx 15{,}7\) Н. Путь за \(t = 0{,}80\) с: \(s = \dfrac{a t^2}{2} = \dfrac{3{,}16\cdot0{,}64}{2} \approx 1{,}01\) м. Покой сохранится, если \(m_B g \le m_A g\sin\alpha + \mu_{\min} m_A g\cos\alpha\), откуда \(\mu_{\min} = \dfrac{m_B g - m_A g\sin\alpha}{m_A g\cos\alpha} \approx 0{,}94\).
зад 2 Неупругий удар
На гладком горизонтальном столе покоятся два бруска: левый массой \(m_2 = 0{,}30\) кг, правый массой \(m_3 = 0{,}50\) кг. Бруски соединены идеальной пружиной жёсткостью \(k = 200\) Н/м. Слева по столу без трения скользит снаряд массой \(m_1 = 0{,}20\) кг со скоростью \(v_0 = 4{,}0\) м/с и центральным абсолютно неупругим образом сталкивается с левым бруском. После удара система «снаряд + левый брусок» движется как единое целое.
Определите скорость \(u\) системы «снаряд + левый брусок» сразу после удара. Ответ выразите в м/с, округлив до десятых долей.
Определите скорость правого бруска \(m_3\) в момент максимального сжатия пружины. Ответ выразите в м/с, округлив до десятых долей.
Найдите максимальное сжатие пружины \(x_{\max}\). Ответ выразите в см, округлив до десятых долей.
На сколько процентов уменьшилась механическая энергия системы при соударении? Дайте ответ в процентах, округлив до целого числа.
▶ПодсказкаСкрыть
Удар происходит быстро, поэтому пружина в этот момент не успевает деформироваться: используйте закон сохранения импульса. В момент максимального сжатия все три тела движутся с одинаковой скоростью.
▶ОтветСкрыть
5) \(1{,}6\) м/с; 6) \(0{,}8\) м/с; 7) \(5{,}7\) см; 8) \(60\,\%\).
▶РешениеСкрыть
Сохранение импульса при ударе: \(m_1 v_0 = (m_1 + m_2) u\), откуда \(u = \dfrac{0{,}20\cdot4{,}0}{0{,}50} = 1{,}6\) м/с. В момент максимального сжатия скорости всех тел совпадают: \(V = \dfrac{(m_1+m_2)u}{m_1+m_2+m_3} = \dfrac{0{,}8}{1{,}0} = 0{,}8\) м/с. Кинетическая энергия после удара \(\dfrac{(m_1+m_2)u^2}{2} = 0{,}64\) Дж, энергия при максимальном сжатии \(\dfrac{(m_1+m_2+m_3)V^2}{2} = 0{,}32\) Дж. Разность \(0{,}32\) Дж идёт в потенциальную энергию пружины: \(\dfrac{k x_{\max}^2}{2} = 0{,}32\) Дж, откуда \(x_{\max} = \sqrt{0{,}0032}\text{ м} \approx 5{,}7\) см. Начальная кинетическая энергия снаряда \(1{,}6\) Дж, после удара \(0{,}64\) Дж; потеря \(60\,\%\).
зад 3 Цикл с линейным участком
С одним молем идеального одноатомного газа совершают циклический процесс \(ABCDA\), состоящий из двух изохорных процессов \(AB\) и \(CD\), изобарного процесса \(DA\) и процесса \(BC\), в котором давление остаётся пропорциональным объёму (\(P = kV\)). Объём газа в процессе \(AB\) равен \(9\) л, в процессе \(CD\) — \(21\) л, давление в процессе \(DA\) равно \(30\) кПа. Максимальное давление газа в цикле равно \(210\) кПа. Во всех расчётах используйте универсальную газовую постоянную \(R = 8{,}314\) Дж/(моль\(\cdot\)К).
Рассчитайте работу, совершённую газом на участке \(B \to C\). Ответ выразите в кДж, округлив до сотых долей.
Найдите количество теплоты, отданное газом на участке \(C \to D\). Ответ выразите в кДж, округлив до сотых долей.
Определите изменение внутренней энергии газа за полуцикл \(A \to B \to C\). Ответ выразите в кДж, округлив до сотых долей.
Найдите температуру газа в состоянии \(C\). Ответ выразите в К, округлив до целого числа.
▶ПодсказкаСкрыть
Прямая \(P = kV\) проходит через состояния \(B\) и \(C\); максимальное давление достигается в точке \(C\), где объём наибольший. Температуру найдите из уравнения состояния идеального газа.
▶ОтветСкрыть
9) \(1{,}80\) кДж; 10) \(5{,}67\) кДж; 11) \(6{,}21\) кДж; 12) \(530\) К.
▶РешениеСкрыть
Из условия \(P_C = 210\) кПа при \(V_C = 21\) л, поэтому \(k = 10\) кПа/л, \(P_B = k V_B = 90\) кПа. Работа на \(BC\) равна площади под прямой: \(A_{BC} = \dfrac{P_B + P_C}{2}(V_C - V_B) = 150\text{ кПа}\cdot12\text{ л} = 1{,}80\) кДж. Температура в \(C\): \(T_C = \dfrac{P_C V_C}{R} = \dfrac{4410}{8{,}314}\text{ К} \approx 530\) К. На изохоре \(CD\) газ охлаждается: \(\Delta U_{CD} = \dfrac{3}{2}(P_D V_D - P_C V_C) = \dfrac{3}{2}(630 - 4410)\) Дж \(= -5{,}67\) кДж, работа равна нулю, значит газ отдаёт теплоту \(5{,}67\) кДж. Для полуцикла \(A \to B \to C\) изменение внутренней энергии \(\Delta U = \dfrac{3}{2}(P_C V_C - P_A V_A) = \dfrac{3}{2}(4410 - 270)\) Дж \(\approx 6{,}21\) кДж (здесь \(P_A V_A = 30\text{ кПа}\cdot9\text{ л} = 270\) Дж).
зад 4 Квадрат из зарядов
В вакууме в вершинах \(A\), \(B\) и \(C\) квадрата \(ABCD\) со стороной \(a = 40{,}0\) см расположены три одинаковых точечных заряда \(q = +3{,}0\) мкКл. Потенциал на бесконечности принят равным нулю. Действием силы тяжести можно пренебречь. Коэффициент в законе Кулона равен \(k = 9{,}0\cdot10^9\) Н\(\cdot\)м\(^2\)/Кл\(^2\).
Найдите модуль напряжённости электрического поля \(|\vec E_O|\) в центре \(O\) квадрата. Ответ выразите в кВ/м, округлив до десятых долей.
В центр квадрата помещают точечный заряд \(q_0 = +1{,}2\) мкКл. Определите модуль силы, действующей на этот заряд. Ответ выразите в Н, округлив до сотых долей.
Какой заряд \(q_D\) нужно поместить в вершину \(D\), чтобы потенциал в центре квадрата стал равен \(\varphi_O = 477\) кВ? Вклад собственного поля заряда \(q_0\) в потенциал не учитывайте. Ответ выразите в мкКл, округлив до сотых долей.
Чему будет равна потенциальная энергия \(U_O\) взаимодействия заряда \(q_0\) со всеми зарядами в вершинах квадрата после добавления заряда \(q_D\)? Ответ выразите в Дж, округлив до сотых долей.
▶ПодсказкаСкрыть
Поля от противоположных вершин квадрата в его центре направлены противоположно и компенсируют друг друга. Потенциалы складываются алгебраически.
▶ОтветСкрыть
13) \(337{,}5\) кВ/м; 14) \(0{,}41\) Н; 15) \(+5{,}99\) мкКл; 16) \(0{,}57\) Дж.
▶РешениеСкрыть
Расстояние от вершины до центра \(r = \dfrac{a}{\sqrt2} \approx 0{,}283\) м. Поля от \(A\) и \(C\) (противоположные вершины) в \(O\) компенсируют друг друга, остаётся поле от \(B\): \(E_O = \dfrac{kq}{r^2} = \dfrac{9\cdot10^9\cdot3\cdot10^{-6}}{0{,}08}\text{ В/м} = 337{,}5\) кВ/м. Сила на заряд \(q_0\) в центре: \(F = q_0 E_O = 1{,}2\cdot10^{-6}\cdot3{,}375\cdot10^5 \approx 0{,}41\) Н. Потенциал в центре от трёх зарядов: \(\varphi_0 = \dfrac{3kq}{r} \approx 286\) кВ. Добавка от \(q_D\): \(\dfrac{k q_D}{r} = 477 - 286 = 191\) кВ, откуда \(q_D = \dfrac{191\cdot10^3\cdot0{,}283}{9\cdot10^9} \approx 6{,}0\cdot10^{-6}\) Кл \(\approx +5{,}99\) мкКл. Потенциальная энергия заряда \(q_0\) в поле всех зарядов: \(U_O = q_0\varphi_O = 1{,}2\cdot10^{-6}\cdot4{,}77\cdot10^5 \approx 0{,}57\) Дж.
зад 5 Линза и пластинка
Небольшой протяжённый предмет расположен вблизи главной оптической оси тонкой собирающей линзы и перпендикулярен ей. Расстояние от предмета до линзы составляет \(s = 30{,}0\) см. Фокусное расстояние линзы равно \(f = 12{,}0\) см. При решении задачи считайте все лучи параксиальными.
Найдите расстояние между изображением и линзой. Ответ выразите в сантиметрах, округлив до десятых долей.
Найдите поперечное увеличение. Ответ округлите до десятых долей.
Вплотную к линзе устанавливают плоскопараллельную стеклянную пластину толщиной \(b = 3{,}0\) см с показателем преломления \(n = 1{,}50\), так что пластина находится между линзой и изображением. Поверхности пластины перпендикулярны оптической оси линзы. Найдите расстояние от изображения, полученного в этой оптической системе, до линзы. Ответ выразите в сантиметрах, округлив до сотых долей.
В этой конфигурации найдите поперечное увеличение. Ответ округлите до сотых долей.
Пластину отодвигают от линзы на расстояние \(d = 5{,}0\) см, оставляя её на стороне изображения (между линзой и изображением). Найдите новое расстояние между полученным в системе изображением и линзой. Ответ выразите в сантиметрах, округлив до десятых долей.
▶ПодсказкаСкрыть
Плоскопараллельная пластина, помещённая в сходящийся пучок, сдвигает точку схода лучей на \(b(1 - 1/n)\) в сторону от линзы. Поперечное увеличение плоской пластины равно единице.
▶ОтветСкрыть
17) \(20{,}0\) см; 18) \(0{,}67\); 19) \(21{,}0\) см; 20) \(0{,}67\); 21) \(21{,}0\) см.
▶РешениеСкрыть
Формула тонкой линзы \(\dfrac{1}{f'} = \dfrac{1}{f} - \dfrac{1}{s}\) даёт расстояние до изображения \(f' = 20{,}0\) см. Поперечное увеличение \(\Gamma = -\dfrac{f'}{s} = -\dfrac{20}{30} \approx -0{,}67\). Плоскопараллельная пластина в сходящемся пучке сдвигает изображение дальше от линзы на \(\Delta = b\left(1 - \dfrac{1}{n}\right) = 3{,}0\cdot\dfrac13 = 1{,}0\) см, то есть до \(21{,}0\) см. Поперечное увеличение плоской пластины равно единице, поэтому в этой конфигурации \(|\Gamma| = 20/30 \approx 0{,}67\). Пластина, сдвинутая от линзы на \(d\) внутрь сходящегося пучка, даёт тот же сдвиг \(\Delta\), поэтому расстояние до изображения снова \(21{,}0\) см.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2025/26, школьный этап, 11 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.