ВсОШ, 2025/26, школьный этап, 9 класс

Подсказка

Запишите правило моментов относительно опоры. Плечо силы тяжести доски равно расстоянию от её центра масс до опоры; после погружения на груз действуют сила Архимеда и сила натяжения нити.

Ответ

1) \(M = 2{,}16\text{ кг}\);  2) \(m = 1{,}08\text{ кг}\);  3) \(N_0 = 32{,}4\text{ Н}\);  4) \(\Delta x = 0{,}14\text{ м}\);  5) \(\dfrac{N_1}{N_0} = 0{,}877\).

Решение

Доска однородна, её масса \(M = \rho_{\text{д}} S L\). Центр масс доски находится в точке \(L/2\). Плечи сил относительно опоры: \(d_{\text{р}} = \left|\dfrac{L}{2} - x_{\text{оп}}\right|\) (для доски), \(d_{\text{г}} = |x_{\text{оп}} - x_{\text{г}}|\) (для груза).

В воздухе. Масса доски \(M = \rho_{\text{д}} S L = 750 \cdot 24\cdot10^{-4} \cdot 1{,}20 = 2{,}16\text{ кг}\). Правило моментов \(m\,d_{\text{г}} = M\,d_{\text{р}}\) даёт массу груза: \(m = M\dfrac{d_{\text{р}}}{d_{\text{г}}} = 2{,}16\cdot\dfrac{0{,}12}{0{,}24} = 1{,}08\text{ кг}\). Реакция опоры \(N_0 = (M+m)g = 3{,}24\cdot 10 = 32{,}4\text{ Н}\).

После полного погружения груза. Объём груза \(V_{\text{г}} = \dfrac{m}{\rho_{\text{ал}}}\), сила Архимеда \(F_A = \rho_{\text{в}} g V_{\text{г}} = \rho_{\text{в}} g\dfrac{m}{\rho_{\text{ал}}} = 4\text{ Н}\). Условие равновесия груза даёт натяжение нити \(T = mg - F_A = 6{,}8\text{ Н}\).

Смещение точки подвеса при неподвижной опоре: \(Mg\,d_{\text{р}} = T\,d'_{\text{г}}\), откуда \(d'_{\text{г}} = \dfrac{M d_{\text{р}}}{m - F_A/g} = \dfrac{2{,}16\cdot 0{,}12}{0{,}68} \approx 0{,}381\text{ м}\), а \(\Delta x = d'_{\text{г}} - d_{\text{г}} \approx 0{,}14\text{ м}\).

Реакция опоры после погружения: \(N_1 = (M+m)g - F_A = 28{,}4\text{ Н}\), отношение \(\dfrac{N_1}{N_0} = 1 - \dfrac{F_A}{(M+m)g} \approx 0{,}877\).

Подсказка

Переводите время в минуты от полуночи. Для каждого участка с «Аистом» и «Журавлём» время в пути пропорционально длине участка, а моменты проходов станций — это расписание отправлений плюс время участка.

Ответ

6) \(340\text{ руб}\);  7) \(410\text{ мин}\);  8) \(80{,}5\text{ км/ч}\);  9) \(280\text{ мин}\).

Решение

Стоимость. Складываем цены четырёх маршрутов и берём минимум: ACB: \(140+210=350\); ADB: \(320+120=440\); ACDB: \(140+80+120=340\); ADCB: \(320+80+210=610\) руб. Минимум — \(340\) руб.

Времена на участках. Скорость поезда на своём длинном маршруте постоянна, поэтому времена на отрезках пропорциональны длинам: \(t_{AD} = T_{ADB}\dfrac{AD}{AD+DB} = 240\cdot\dfrac{220}{410}\approx 128{,}8\) мин, \(t_{DB} = T_{ADB} - t_{AD}\); \(t_{AC} = T_{ACB}\dfrac{AC}{AC+CB} = 280\cdot\dfrac{180}{450} = 112\) мин, \(t_{CB} = 168\) мин.

Ожидания. Если известен первый рейс \(T_{\text{start}}\) и период \(P\), рейсы идут в моменты \(T_{\text{start}}, T_{\text{start}}+P, \dots\); берём первый не раньше текущего момента. Турист приходит в A в 9:20, это \(560\) мин от полуночи. «Аист» отправляется из A в \(330, 450, 570, 690, \dots\) мин, «Журавль» — в \(350, 400, \dots, 600, \dots\) мин, «Беркут» из C и из D — в \(360 + 30k\) мин.

Маршрут A \(\to\) D \(\to\) C \(\to\) B. «Журавль» из A в \(600\) мин (10:00) приходит в D в \(600 + 128{,}8 \approx 728{,}8\) мин. Ближайший «Беркут» из D — в \(750\) мин, в C он придёт в \(770\) мин. Проход C «Аистом»: отправление \(+112\) мин, первый не раньше \(770\) — это отправление \(690\) мин, проход C в \(802\) мин. Далее C \(\to\) B за \(168\) мин: прибытие в B в \(970\) мин (16:10). Полное время \(970 - 560 = 410\) мин. Длина маршрута \(S = AD+DC+CB = 220+60+270 = 550\) км.

Средняя скорость: \(v_{\text{ср}} = \dfrac{S}{t} = \dfrac{550}{410/60} \approx 80{,}5\) км/ч.

Минимальное время из A в B. Считаем четыре варианта: ADB — ждём «Журавль» в 600 мин, прибываем в B в \(600 + 240 = 840\) мин: время \(280\) мин; ACB — ждём «Аист» в 570 мин, прибытие в \(570 + 280 = 850\) мин: время \(290\) мин; ACDB и ADCB — с пересадками на «Беркут» дают большие времена. Минимум — \(280\) мин.

Подсказка

Сначала выясните, что успевает растаять при смешивании: сколько тепла отдаёт вода и калориметр при остывании до \(0^\circ\)C и сколько нужно на нагрев льда до \(0^\circ\)C. Остаток тепла идёт на плавление.

Ответ

10) \(m_{\text{пл}} = 163\text{ г}\);  11) \(\theta_1 = 10{,}7^\circ\text{C}\);  12) \(\theta_2 = 11{,}4^\circ\text{C}\).

Решение

Смешивание воды со льдом (без нагревателя). Эффективная теплоёмкость «вода + калориметр» \(C_0 = m_{\text{в}}c_{\text{в}} + C = 1290\) Дж/\(^\circ\)C. Теплота, доступная при охлаждении воды и калориметра до \(0^\circ\)C: \(Q_{\text{дост}} = C_0 t_{\text{в}} = 58050\) Дж. Теплота на нагрев льда до \(0^\circ\)C: \(Q_{\text{наг}} = m_{\text{л}}c_{\text{л}}|t_{\text{л}}| = 4200\) Дж. Остаётся на плавление \(Q_{\text{пл, доступ}} = Q_{\text{дост}} - Q_{\text{наг}} = 53850\) Дж.

Поскольку \(Q_{\text{пл, доступ}} < m_{\text{л}}\lambda = 66000\) Дж, плавится лишь часть льда, температура равна \(0^\circ\)C: \(m_{\text{пл}} = \dfrac{Q_{\text{пл, доступ}}}{\lambda} \approx 0{,}163\text{ кг} = 163\text{ г}\), остаток льда \(m_{\text{ост}} = 200 - 163 = 37\) г.

Подвод теплоты нагревателем. Для плавления оставшегося льда нужно \(Q_1 = m_{\text{ост}}\lambda \approx 12{,}15\) кДж. Так как \(Q = 35\) кДж \(> Q_1\), сначала доплавляется лёд, затем смесь нагревается. Избыток \(Q_2 = Q - Q_1 \approx 22{,}85\) кДж. Теплоёмкость всей системы после плавления \(C_1 = (m_{\text{в}} + m_{\text{л}})c_{\text{в}} + C = 2130\) Дж/\(^\circ\)C, поэтому \(\theta_1 = \dfrac{Q_2}{C_1} \approx 10{,}7^\circ\)C.

Нарушение теплоизоляции. Мощность берём по начальной разности температур: \(P = K|\theta_1 - t_{\text{окр}}| = 85\cdot 9{,}3 \approx 790\) Дж/мин. За \(\Delta\tau = 2\) мин система получает \(Q_{\text{сист}} = P\,\Delta\tau \approx 1{,}58\) кДж (среда нагревает систему, так как \(\theta_1 < t_{\text{окр}}\)). Лёд уже растаял, поэтому \(\theta_2 = \theta_1 + \dfrac{Q_{\text{сист}}}{C_1} \approx 10{,}7 + 0{,}74 \approx 11{,}4^\circ\)C.

Подсказка

Нулевой ток через гальванометр означает равенство потенциалов средних точек ветвей; ветви при этом электрически независимы и подключены параллельно к источнику.

Ответ

13) \(112{,}5\text{ Ом}\);  14) \(64\text{ мА}\);  15) \(1{,}25\text{ Вт}\);  16) \(0{,}46\text{ Вт}\).

Решение

Баланс моста: \(\dfrac{R_1}{R_2} = \dfrac{R_3}{R_4}\), откуда \(R_4 = \dfrac{R_2R_3}{R_1} = \dfrac{180\cdot 75}{120} = 112{,}5\) Ом.

Токи по ветвям: \(I_A = \dfrac{U}{R_1+R_2} = \dfrac{12}{300} = 0{,}04\) А (через \(R_1\), \(R_2\)), \(I_B = \dfrac{U}{R_3+R_4} = \dfrac{12}{187{,}5} = 0{,}064\) А \(= 64\) мА (через \(R_3\), \(R_4\)).

Эквивалентное сопротивление и полная мощность: \(R_\Sigma = \dfrac{(R_1+R_2)(R_3+R_4)}{R_1+R_2+R_3+R_4} = \dfrac{300\cdot 187{,}5}{487{,}5}\approx 115{,}4\) Ом, \(P_\Sigma = \dfrac{U^2}{R_\Sigma} = U(I_A+I_B) \approx 1{,}25\) Вт.

Мощности на резисторах: \(P_1 = I_A^2R_1 \approx 0{,}19\) Вт, \(P_2 = I_A^2R_2 \approx 0{,}29\) Вт, \(P_3 = I_B^2R_3 \approx 0{,}31\) Вт, \(P_4 = I_B^2R_4 \approx 0{,}46\) Вт. Проверка: сумма \(\approx 1{,}25\) Вт совпадает с \(P_\Sigma\). Максимальная — на \(R_4\): \(0{,}46\) Вт.

Подсказка

Скорость катера вниз по течению \(V_{\text{к}}+V_{\text{т}}\), вверх — \(V_{\text{к}}-V_{\text{т}}\). Плот движется со скоростью течения, поэтому его координата известна в любой момент времени.

Ответ

17) \(d_1 = 4{,}5\text{ км}\);  18) \(d_2 = 6{,}0\text{ км}\);  19) \(6\);  20) \(L_{\max} = 15{,}8\text{ км}\).

Решение

Обозначения: ось \(x\) направлена от A к B, \(v_{\downarrow} = V_{\text{к}}+V_{\text{т}}\) (катер по течению), \(v_{\uparrow} = V_{\text{к}}-V_{\text{т}}\) (катер против течения). Плот: \(x_{\text{п}}(t) = V_{\text{т}}t\), время его прихода в B: \(t_B = S/V_{\text{т}} = 6\) ч.

Первая встреча (на подъёме): \(S - v_{\uparrow}\left(t - \dfrac{S}{v_{\downarrow}}\right) = V_{\text{т}}t\), откуда \(t_1 = \dfrac{2S}{V_{\text{к}}+V_{\text{т}}} = \dfrac{36}{24} = 1{,}5\) ч и \(d_1 = V_{\text{т}}t_1 = \dfrac{2SV_{\text{т}}}{V_{\text{к}}+V_{\text{т}}} = 4{,}5\) км.

Вторая встреча (на следующем спуске): \(t_2 = \dfrac{2S}{V_{\text{к}}-V_{\text{т}}} = 2\) ч, \(d_2 = V_{\text{т}}t_2 = \dfrac{2SV_{\text{т}}}{V_{\text{к}}-V_{\text{т}}} = 6{,}0\) км.

Общие формулы: \(t_{2m-1} = \dfrac{2mS}{V_{\text{к}}+V_{\text{т}}}\) (встречи на подъёмах), \(t_{2m} = \dfrac{2mS}{V_{\text{к}}-V_{\text{т}}}\) (на спусках).

Число встреч до прихода плота в B. Условие \(t\le t_B\) даёт \(m \le \dfrac{V_{\text{к}}+V_{\text{т}}}{2V_{\text{т}}} = 4\) для подъёмов (моменты \(1{,}5;\ 3;\ 4{,}5;\ 6\) ч) и \(m \le \dfrac{V_{\text{к}}-V_{\text{т}}}{2V_{\text{т}}} = 3\) для спусков (моменты \(2;\ 4;\ 6\) ч). Момент \(6\) ч совпадает для обеих серий и учитывается один раз: всего \(6\) встреч.

Максимальное расстояние. Между разворотами \(L(t)\) меняется линейно, поэтому максимум достигается в концах отрезков. Для первого разворота в B: \(L = S - V_{\text{т}}t_B^{(1)} = S\dfrac{V_{\text{к}}}{V_{\text{к}}+V_{\text{т}}} = 18\cdot\dfrac{21}{24} = 15{,}75 \approx 15{,}8\) км; для первого разворота в A: \(L = V_{\text{т}}\left(\dfrac{S}{V_{\text{к}}+V_{\text{т}}}+\dfrac{S}{V_{\text{к}}-V_{\text{т}}}\right) = 3\cdot 1{,}75 = 5{,}25\) км. Наибольшее из них — \(L_{\max} \approx 15{,}8\) км.

Графическое решение: на графике по оси \(t\) отложено время до \(t_B = S/V_{\text{т}}\), по оси \(x\) — координата. Ломаная описывает движение катера (развороты в A и B), прямая — движение плота; точки пересечения — встречи.