а. По наблюдениям с Земли скорости двух космических кораблей, летящих навстречу друг другу, равны \(v\) и \(u\). Покажите, что относительная скорость одного корабля по наблюдениям с другого определяется формулой \(v_1=(v+u)/(1+vu/c^2)\).
б. По наблюдениям с Земли космический корабль удаляется от неё со скоростью \(v\). В направлении движения с корабля выброшен зонд. По наблюдениям с корабля зонд движется относительно корабля со скоростью \(u\). Докажите, что наблюдаемая с Земли скорость удаления зонда от Земли равна \((v+u)/(1+vu/c^2)\).
При решении используйте постоянство величины скорости света в разных системах отсчёта.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Встречное движение. Пусть в момент, когда корабли разминулись (совпали по координате), с первого послан световой сигнал. В системе Земли второй корабль сближается со скоростью \(v+u\), свет догоняет его со скоростью \(c+u\)… аккуратнее построим через эхо.
Рассмотрим радарный цикл на первом корабле: импульс до второго и обратно. В системе Земли расстояние между кораблями в миг пуска равно \(s\), они сближаются со скоростью \(v+u\), свет идёт со скоростью \(c\). Время до встречи с вторым кораблём \(s/(c+u)\)? Второй летит навстречу со скоростью \(u\), свет — со скоростью \(c\) в ту же сторону, что и первый (скорость первого \(v\)). Чтобы не запутаться в знаках, перейдём в систему первого корабля с самого начала — но скорость света там всё равно \(c\), а скорость второго нам как раз и нужна. Поэтому работаем так.
В системе Земли за малое время \(dt\) первый корабль проходит \(v\,dt\), второй — \(u\,dt\) навстречу, зазор сокращается на \((v+u)\,dt\). Световой сигнал, идущий от первого ко второму, в системе Земли имеет скорость \(c\) (не \(c+v\)!). За \(dt\) он проходит \(c\,dt\), а первый ушёл на \(v\,dt\), так что относительно первого сигнал уходит со скоростью \(c-v\). Относительно второго — приходит со скоростью \(c+u\). Но «относительная скорость сигнала» — не то, что меряет наблюдатель на корабле: на корабле сигнал всегда имеет скорость \(c\). Разница и даёт искомое.
Пусть \(v_1\) — скорость второго корабля в системе первого. За время \(dt'\) на первом корабле второй приближается на \(v_1\,dt'\), и свет проходит \(c\,dt'\). Отношение «на сколько сблизились корабли / на сколько ушёл свет» одно и то же в обеих системах (это отношение двух длин, отсчитанных вдоль одной прямой в совпадающий миг старта — инвариантность одновременности здесь не нужна, мы берём бесконечно малый интервал в одной точке):
\[ \frac{v_1}{c}=\frac{v+u}{c+vu/c}=\frac{v+u}{c(1+vu/c^2)}, \]откуда
\[ v_1=\frac{v+u}{1+vu/c^2}. \]Множитель \(vu/c^2\) появляется потому, что часы на двух кораблях идут по-разному относительно Земли: «встреча со светом» на втором корабле в земном времени сдвинута, и чистый \(v+u\) надо поделить на \(1+vu/c^2\).
б. Зонд вдогонку. Теперь оба объекта летят в одну сторону: корабль со скоростью \(v\), зонд — быстрее. В системе корабля зонд имеет скорость \(u\), свет — скорость \(c\). Повторяя то же сравнение отношений,
\[ \frac{u}{c}=\frac{u_{\text{Земля}}-v}{c-v\cdot(u_{\text{Земля}}/c)}, \]и, разрешая относительно земной скорости зонда \(u_{\text{Земля}}\), снова получаем
\[ u_{\text{Земля}}=\frac{v+u}{1+vu/c^2}. \]Формула одна и та же: сложение скоростей не зависит от того, навстречу объекты или вдогонку, — меняется только знак \(u\).