На фотонной ракете, летящей со скоростью 225 000 км/с относительно Земли, установлен ускоритель, разгоняющий электроны до скорости 240 000 км/с относительно ракеты в направлении её движения. Какова скорость этих электронов в системе «Земля»?
К задаче 14.1.11. Скорости ракеты и электрона по отдельности меньше \(c\), но в сумме «почти \(c+c\)» — знаменатель спасает.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Обычная сумма 225 000 + 240 000 = 465 000 км/с больше скорости света и потому запрещена. Работает релятивистское сложение: \(u=(v+u')/(1+vu'/c^2)\).
Скорость ракеты относительно Земли \(v=2{,}25\cdot10^8\) м/с, скорость электрона относительно ракеты \(u'=2{,}40\cdot10^8\) м/с, \(c=3\cdot10^8\) м/с. Обе скорости меньше \(c\), но их галилеева сумма \(4{,}65\cdot10^8\) м/с уже больше \(c\). Знаменатель формулы сложения как раз и не даёт пробить световой барьер:
Это 290 000 км/с — уже почти \(c\), но всё ещё меньше. В книге напечатано «\(2{,}9\cdot10^8\) км/с» — опечатка единиц: должно быть м/с (иначе вышло бы в тысячу раз быстрее света).
Проверка. \(\beta_v=0{,}75\), \(\beta_{u'}=0{,}80\), \(\beta_u=(0{,}75+0{,}80)/(1+0{,}60)=1{,}55/1{,}60=0{,}969\), то есть \(0{,}969c=2{,}91\cdot10^8\) м/с. Предел: если бы электрон на ракете имел скорость \(c\), с Земли он тоже имел бы \(c\). Галилеева сумма запрещена уже тем, что \(0{,}75c+0{,}80c=1{,}55c>c\).
Ответ\(u=2{,}9\cdot10^8\) м/с (в книге опечатка единиц: «км/с» вместо м/с).