«…Космический объект приближался к Земле. Навстречу ему мчалась самая быстрая космическая лаборатория. “Какова скорость сближения объекта и лаборатории?” — запросил с Земли генерал, руководитель встречи. “В системе Земли или нашей лаборатории?” — отозвался оператор лаборатории. “Какая разница”, — ответил генерал. “Эти скорости уже отличаются на 0,01 %, — неслось из космоса. — Сейчас мы достигли скорости сближения ровно 100 000 км/с в нашей системе и больше мы её не меняем”. “Как измеряете скорость?” — спросил генерал. “Так же, как и вы, мы установили пассивную связь с объектом. Радарный импульс постоянно курсирует между нами и объектом, отражаясь попеременно то от нашей лаборатории, то от объекта. Скорость сближения определяется по изменению времени возвращения импульса”. “Это верно, когда радарный импульс и удаляется, и приближается к лаборатории со скоростью, равной скорости света, — подумал генерал. — Тогда скорость приближения объекта определяется только отношением двух соседних времён. Но у них не так. Когда они догоняют отражённый импульс, скорость импульса \(c\) уменьшается на величину скорости лаборатории и на столько же увеличивается, когда импульс летит навстречу”. Неожиданно для себя генерал спросил у оператора: “Какая скорость сближения получилась бы у вас, если бы мы сообщили с Земли наблюдаемые нами скорости импульса по отношению к лаборатории и вы воспользовались бы этими величинами для расчёта скорости объекта по времени возвращения импульса? Наверняка ту же самую, что мы видели с Земли”. “Да, генерал,” — со скоростью света полетел ответ на Землю. У генерала мелькнула мысль: “Лукавят физики. Просто не могут измерить скорость импульса. Нет масштаба. И принимают её равной скорости света. Отсюда — все несовпадения”».
Этот отрывок из ещё неопубликованного научно-фантастического рассказа вызвал следующие вопросы. Насколько прав генерал? Чему равна скорость объекта и лаборатории в системе «Земля»?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Как меряет лаборатория. Пусть \(\tau_1\) и \(\tau_2\) — два соседних времени возвращения импульса, \(k=\tau_1/\tau_2\). За среднее время \((\tau_1+\tau_2)/2\) объект проходит путь \(c(\tau_1-\tau_2)/2\) (импульс оба раза идёт со скоростью \(c\)). Скорость сближения в системе лаборатории
\[ v=c\cdot\frac{k-1}{k+1}=100\,000\ \text{км/с}. \]Как считал бы генерал. С Земли импульс относительно лаборатории имеет скорости \(c-u\) «вдогон» и \(c+u\) «навстречу». Разбивая каждое \(\tau_{1,2}\) на «туда» и «обратно» и требуя \(\tau^++\tau^-=\tau\), \(\tau^+/\tau^-=(c-u)/(c+u)\), получаем \(\tau^\pm=(1\mp u/c)\tau/2\). Скорость сближения по генеральской формуле
\[ v'=\Bigl(1-\frac{u^2}{c^2}\Bigr)\frac{v}{1-vu/c^2}. \]Это в точности релятивистское сложение: земная скорость сближения равна \((v-u)/(1-vu/c^2)\), если \(v\) и \(u\) направлены навстречу. Отношения времён в двух системах одинаковы (\(\tau_1:\tau_2=\tau_1':\tau_2'\)), поэтому \(v'\), посчитанная лабораторией «по-генеральски», совпадает с тем, что видит Земля. Генерал прав в этом пункте.
Он неправ, утверждая, что физики «не могут измерить скорость импульса и принимают её равной \(c\)». Скорость света в инерциальной системе лаборатории есть \(c\) — это не договорённость, а постулат, подтверждаемый любым внутренним экспериментом. «Масштаб» есть: это те же часы и линейки, которыми лаборатория меряет \(v\).
Числа. Разность скоростей сближения 0,01 %, то есть \(\alpha=10^{-4}\):
\[ \frac{v'-v}{v}=\alpha. \]При малом \(\alpha\) и \(v\ll c\) отсюда \(u\simeq\alpha c^2/v\). Подставляем \(v=10^5\) км/с \(=c/3\):
\[ u\simeq\frac{10^{-4}\cdot c^2}{c/3}=3\cdot10^{-4}c=90\ \text{км/с}. \]Земная скорость объекта (скорость сближения объекта с лабораторией, видимая с Земли, минус скорость лаборатории — аккуратно через сложение)
\[ v_0=\frac{v-u}{1-vu/c^2}\simeq v-u=100\,000-90=99\,910\ \text{км/с}. \]Точнее, \(v'=u+v_0\) в генеральской арифметике совпадает с написанным \(v'\). Скорость лаборатории относительно Земли \(u=90\) км/с, скорость объекта \(v_0\approx99\,910\) км/с.