Самолёт и ракета движутся по одной прямой и в одном направлении. Скорость самолёта \(\beta c\). С самолёта испускаются световые импульсы через равные интервалы, которые, отразившись от ракеты, приходят на самолёт через интервалы, в \(K\) раз длиннее интервалов испускаемых импульсов. Определите скорость ракеты относительно самолёта по наблюдениям с самолёта и по наблюдениям с Земли.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
С самолёта. Свет уходит вперёд со скоростью \(c\), ракета — со скоростью \(v_1\) в ту же сторону. Каждый следующий импульс догоняет цель, которая за интервал \(\tau\) ушла на \(v_1\tau\). Времена прихода соседних эхо относятся как пути, и школьная «картина догоняния» даёт
\[ K=\frac{c}{c-v_1}\qquad\Longrightarrow\qquad v_1=\Bigl(1-\frac{1}{K}\Bigr)c. \]При \(K=1\) ракета покоится относительно самолёта, \(v_1=0\). При \(K\to\infty\) эхо не возвращается, \(v_1\to c\).
С Земли. Самолёт имеет скорость \(\beta c\), ракета относительно самолёта — \(v_1\). Скорость ракеты относительно Земли по правилу сложения
\[ u=\frac{\beta c+v_1}{1+\beta v_1/c}. \]Наблюдаемая с Земли скорость ракеты относительно самолёта — это разность земных скоростей \(u-\beta c\):
\[ v_2=u-\beta c=c\cdot\frac{(1-\beta^2)(1-1/K)}{1+\beta-\beta/K} =\frac{(K-1)(1-\beta^2)}{(K-1)(1+\beta)+1}\,c. \]Знаменатель раскрывается так: \((K-1)(1+\beta)+1=K+K\beta-\beta=K(1+\beta)-\beta\), и выражение совпадает с алгеброй выше. Это уже не \(v_1\): с Земли «скорость сближения» двух движущихся тел — другая величина, чем относительная скорость в системе одного из них.