По линии, соединяющей две неподвижные друг относительно друга станции, со скоростью \(v\) относительно станций двигался космический корабль. «Станции находились на одинаковом расстоянии от нашего корабля, когда на них одновременно отразился наш световой сигнал, так как световые сигналы были отправлены одновременно на станции и вернулись они после отражения от станций тоже одновременно», — утверждает наблюдатель с корабля. Сотрудники же станции наблюдали, что сигналы отразились от станций в разное время. Как объяснить эти разногласия? Какую разницу во временах отражения наблюдали сотрудники станции, если расстояние между станциями (в их системе) равно \(l\)? На каких расстояниях они фиксировали корабль в моменты отражений сигналов от станций?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Наблюдатель корабля прав в своей системе: оба импульса уходят со скоростью \(c\), возвращаются одновременно — следовательно, отразились одновременно, и в тот миг станции были на равных расстояниях от корабля.
Со станций картина другая. Свет относительно корабля уже не имеет скорость \(c\): к станции, на которую корабль летит, сигнал идёт со скоростью \(c+v\), к той, от которой удаляется, — со скоростью \(c-v\). Поэтому сигналы не могут отразиться одновременно в момент, когда корабль посередине: эхо от «передней» станции пришло бы раньше. Более того, одновременные (по станциям) отражения вообще не вернут сигналы на корабль одновременно, если корабль не стоит ближе к задней станции в отношении \((c-v):(c+v)\). Но тогда, чтобы отражения случились одновременно, импульсы пришлось бы послать в разное время. Вывод: на станциях приход сигналов (отражение) обязательно наблюдается в разные моменты.
Найдём разницу. Пусть корабль посылает сигналы, будучи на расстоянии \(x\) от первой станции и \(l-x\) от второй. Равенство времён «туда и обратно» в системе корабля, переписанное через скорости \(c\pm v\) в системе станций, даёт
\[ \frac{x}{c}+\frac{x}{c-v}\Bigl(1+\frac{v}{c}\Bigr)=\frac{l-x}{c}+\frac{l-x}{c+v}\Bigl(1-\frac{v}{c}\Bigr). \]Отсюда
\[ x=\frac12\Bigl(1-\frac{v}{c}\Bigr)l,\qquad l-x=\frac12\Bigl(1+\frac{v}{c}\Bigr)l. \]Времена движения сигналов от корабля до станций
\[ \tau_1=\frac{x}{c}=\frac12\Bigl(1-\frac{v}{c}\Bigr)\frac{l}{c},\qquad \tau_2=\frac{l-x}{c}=\frac12\Bigl(1+\frac{v}{c}\Bigr)\frac{l}{c}, \]и разница времён отражения
\[ \tau_2-\tau_1=\frac{vl}{c^2}. \]Расстояния до станций в моменты отражений одинаковы:
\[ x_1=x_2=\frac12\Bigl(1-\frac{v^2}{c^2}\Bigr)l. \]Корабль «успевает» приблизиться к передней станции ровно настолько, что геометрические расстояния в моменты двух разных отражений совпадают. Разница \(vl/c^2\) — стандартный сдвиг одновременности преобразования Лоренца для событий, разнесённых на \(l\).