Стеклянный брусок длины \(l\) движется в продольном направлении со скоростью \(v\). Передний торец бруска посеребрён. Сколько времени по часам неподвижного наблюдателя потребуется свету, входящему в брусок через задний торец, чтобы пройти по бруску, отразиться от посеребрённого торца и выйти из бруска? Коэффициент преломления стекла \(n\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Длина \(l\) — это длина бруска в системе неподвижного наблюдателя; оба торца движутся с одной и той же скоростью \(v\), поэтому \(l\) не меняется со временем.
Скорость света в бруске относительно наблюдателя по формуле Физо (задача 14.1.12):
\[ u_+=\frac{v+c/n}{1+v/(nc)}\quad\text{(туда, по движению)},\qquad u_-=\frac{v-c/n}{1-v/(nc)}\quad\text{(обратно)} . \]Свет входит в задний торец в момент \(t=0\), когда передний торец находится на расстоянии \(l\). Передний торец убегает со скоростью \(v\), свет догоняет его со скоростью \(u_+\). Время до отражения
\[ t_+=\frac{l}{u_+-v}. \]Считаем разность:
\[ u_+-v=\frac{c}{n}\cdot\frac{1-v^2/c^2}{1+v/(nc)},\qquad t_+=\frac{nl}{c}\cdot\frac{1+v/(nc)}{1-v^2/c^2}. \]После отражения свет идёт назад со скоростью \(u_-\) (отрицательной, если \(v<c/n\)), задний торец едет вперёд со скоростью \(v\). Они встречаются со скоростью сближения \(v-u_-\):
\[ v-u_-=\frac{c}{n}\cdot\frac{1-v^2/c^2}{1-v/(nc)},\qquad t_-=\frac{nl}{c}\cdot\frac{1-v/(nc)}{1-v^2/c^2}. \]Полное время
\[ T=t_++t_-=\frac{2nl}{c(1-v^2/c^2)}. \]Члены \(\pm v/(nc)\) сократились: «попутный ветер» туда ровно компенсируется «встречным» обратно, и остаётся только лоренцев множитель \(\gamma^2=1/(1-v^2/c^2)\). По сравнению с неподвижным бруском (\(T_0=2nl/c\)) время выросло в \(\gamma^2\) раз.