Лодочник под мостом уронил в воду багор. Через время \(\tau\), находясь на расстоянии \(L\) от моста, он обнаружил потерю и, повернув назад, догнал багор на расстоянии \(l\) от моста. Время и расстояния приведены в системе «берег». Какова скорость реки? Получите релятивистский ответ и из него нерелятивистское приближение.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть скорость реки относительно берега равна \(v\), собственная скорость лодки относительно воды равна \(u\) (туда и обратно одна и та же: лодочник гребёт одинаково). Багор покоится в воде и плывёт вместе с ней.
В системе берега скорость лодки вниз по течению \(u_+=(u+v)/(1+uv/c^2)\), против течения \(u_-=(u-v)/(1-uv/c^2)\). Лодочник от моста до точки обнаружения (\(L\)) шёл вниз по течению время \(\tau\):
\[ L=u_+\tau. \]Затем он повернул и догнал багор в точке на расстоянии \(l\) от моста. Багор за всё время от падения до встречи прошёл \(l\) со скоростью \(v\), значит полное время истории \(T=l/v\). Обратный путь лодки равен \(L-l\) (он возвращается от \(L\) к \(l\)) и длится \(T-\tau\):
\[ L-l=u_-(T-\tau)=u_-\Bigl(\frac{l}{v}-\tau\Bigr). \]Два уравнения на \(u\) и \(v\). Исключая \(u\) (через \(u_+\) и \(u_-\) и тождество \(u_+u_-=(u^2-v^2)/(1-u^2v^2/c^4)\cdot\ldots\)), после алгебры получают
\[ v=\frac{L\tau c^2}{l(l+2L)}\Biggl(\sqrt{1+\frac{l^3(l+2L)}{(L\tau c)^2}}-1\Biggr). \]Нерелятивистский предел: \(l/\tau\) и \(L/\tau\) много меньше \(c\), корень раскладывается \(\sqrt{1+\varepsilon}\approx1+\varepsilon/2\), и
\[ v\approx\frac{L\tau c^2}{l(l+2L)}\cdot\frac{l^3(l+2L)}{2(L\tau c)^2}=\frac{l^2}{2L\tau}. \]Это школьный ответ «про течение»: багор за время «вниз + назад» проплыл \(l\), а лишний путь лодки \(2L\) (туда до \(L\) и почти назад) связан с \(v\) через среднее. Знаменитый качественный вывод: скорость лодки \(u\) вообще выпала — как в нерелятивистской задаче про эскалатор.