Савченко · Глава 14. Специальная теория относительности · § 14.1. Постоянство скорости света. Сложение скоростей

Савченко, задача 14.1.15

Задача 14.1.15распад ядра на два осколка

Условие

Движущееся ядро распадается на два одинаковых осколка. Скорость осколка в направлении движения \(v\), в противоположном направлении \(u\). Определите скорость ядра.

К задаче 14.1.15. Два одинаковых осколка; в системе ядра их скорости противоположны и равны.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Осколки одинаковые, значит в системе ядра они разлетаются с равными по модулю противоположными скоростями \(\pm w\). Лабораторные \(v\) и \(u\) — это сложение \(v_0\) с \(+w\) и с \(-w\). Исключаем \(w\).

Пусть скорость ядра \(v_0\), а в его системе каждый осколок имеет скорость \(w\). Формула сложения даёт лабораторные скорости «вперёд» и «назад»:

\[ v=\frac{v_0+w}{1+v_0w/c^2},\qquad u=\frac{v_0-w}{1-v_0w/c^2}. \]

(Если \(w>v_0\), «задний» осколок в лаборатории летит назад, и \(u\) — модуль его скорости; в формуле выше \(u\) тогда отрицательно. Книга считает \(u\) положительной скоростью «в противоположном направлении», то есть берёт модуль. Мы сохраним знаки как в сложении и в конце возьмём нужный корень.)

Разрешим обе формулы относительно \(w\):

\[ w=\frac{v-v_0}{1-vv_0/c^2}=\frac{v_0-u}{1-uv_0/c^2}. \]

Приравниваем и решаем квадратное уравнение на \(v_0\). Удобно перейти к величинам \(c^2\). После расчистки

\[ v_0=\frac{c^2-vu-\sqrt{(c^2-v^2)(c^2-u^2)}}{v-u}. \]

Выбран знак «минус» перед корнем: при \(u\to v\) (осколки почти не разлетаются) должно быть \(v_0\to v\), и этот корень это обеспечивает. Знак «плюс» дал бы сверхсветовую постороннюю ветвь.

Проверка. Если \(u=0\) (задний осколок остановился в лаборатории), \(v_0=(c^2-\sqrt{c^4-c^2v^2})/v=c^2(1-\sqrt{1-v^2/c^2})/v\), что совпадает с \(v_0=c^2(1-\sqrt{1-\beta^2})/(c\beta)\) и меньше \(v\). Если \(v=u\), знаменатель нуль, но числитель тоже нуль (корень равен \(c^2-v^2\)), и по Лопиталю \(v_0=v\). Нерелятивистски \(v_0=(v-u)/2+vu/(v-u)\cdot\ldots\approx(v-u)/2\) при малом разлёте — середина, как и должно быть для равных масс.

Ответ\(v_0=\big(c^2-vu-\sqrt{(c^2-v^2)(c^2-u^2)}\big)/(v-u)\).

Следующая задача 14.1.16 →