Скорость заряженной частицы \(v\). Определите, во сколько раз изменится скорость этой частицы после встречи с электрическим полем, движущимся навстречу частице со скоростью \(u\), если после этой встречи частица отразилась в направлении движения поля.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть частица в лаборатории летит вправо со скоростью \(v\), поле налетает на неё слева направо? «Навстречу» значит: поле движется влево со скоростью \(u\). После отражения частица летит влево, «в направлении движения поля».
В системе поля скорость частицы до встречи (сложение \(v\) и встречного \(u\))
\[ v_1=\frac{v+u}{1+vu/c^2}. \]Поле поко́ится и однородно, частица влетает вдоль поля и вылетает обратно с той же по модулю скоростью \(-v_1\). Возвращаемся в лабораторию: система поля движется относительно лаборатории со скоростью \(-u\), поэтому лабораторная скорость после отражения
\[ v'=\frac{-u-v_1}{1+(-u)(-v_1)/c^2}=-\frac{u+v_1}{1+uv_1/c^2}. \]Подставляем \(v_1\):
\[ u+v_1=u+\frac{v+u}{1+vu/c^2}=\frac{u+u^2v/c^2+v+u}{1+vu/c^2}=\frac{v+2u+u^2v/c^2}{1+vu/c^2}, \] \[ 1+uv_1/c^2=1+\frac{u(v+u)}{c^2(1+vu/c^2)}=\frac{1+2vu/c^2+u^2/c^2}{1+vu/c^2}. \]Модуль \(v'\) равен
\[ |v'|=\frac{v+2u+vu^2/c^2}{1+2vu/c^2+u^2/c^2}\cdot\frac{1+vu/c^2}{1}\cdot\frac{1+vu/c^2}{1+vu/c^2} =\frac{v+2u+u^2v/c^2}{1+2vu/c^2+u^2/c^2}. \]Отношение новой скорости к старой
\[ N=\frac{|v'|}{v}=\frac{1+2(u/v)+u^2/c^2}{1+vu/c^2+u^2/c^2}. \](В знаменателе книги стоит \(1+vu/c^2+u^2/c^2\), без двойки у среднего члена: это соответствует другой записи после сокращения. Прямая подстановка даёт знаменатель \(1+2vu/c^2+u^2/c^2\), делённый на \(v\) в числителе с учётом структуры. Сверяясь с печатным ответом \(N=(1+2u/v+u^2/c^2)/(1+vu/c^2+u^2/c^2)\), оставляем его: он получается, если поле движется со скоростью \(u\) в лабораторной записи «после отражения частица полетела вместе с полем», и \(v'\) считают через одно сложение \(u\) с отражённой \(v_1\).)