Мимо Земли со скоростью \(v\) пролетает ракета. Посланный с Земли световой сигнал отразился от ракеты, когда она находилась от Земли на минимальном расстоянии \(l\). Определите время возвращения сигнала на Землю по наблюдениям с Земли и с ракеты.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Поперечное расстояние не сокращается: и с Земли, и с ракеты минимальное расстояние равно \(l\). С Земли сигнал идёт к точке отражения по перпендикуляру к траектории и возвращается тем же путём:
\[ t=\frac{2l}{c}. \]С ракеты Земля бежит со скоростью \(v=\beta c\). Луч, который на Земле вертикален, в системе ракеты наклонён: за время полёта света Земля смещается, и путь света — гипотенуза. Если угол между лучом и нормалью равен \(\alpha\), причём \(\sin\alpha=\beta\), то путь в одну сторону равен \(l/\cos\alpha\), и
\[ t'=\frac{2l}{c\cos\alpha}=\frac{2l}{c\sqrt{1-\beta^2}}=\gamma\cdot\frac{2l}{c}. \]Промежуток между уходом и приходом сигнала на Землю, измеренный с ракеты, в \(\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}\) раз длиннее земного. Это тот же эффект, что у поперечных световых часов: «тиканье» растягивается в \(\gamma\) раз.