В ракете время измеряется световыми ходиками, состоящими из двух зеркал, расположенных на расстоянии \(l\) друг от друга. Число колебаний светового зайчика между этими зеркалами отсчитывает время в этой ракете. Как изменится ход этих часов по наблюдениям на станции, относительно которой ракета движется со скоростью \(\beta c\)? Покажите, что расстояние между зеркалами, если ось ходиков направлена вдоль скорости \(\beta c\), уменьшится в \(\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}\) раз.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Поперечные ходики. В ракете период \(\tau_0=2l/c\). С станции зеркала едут со скоростью \(\beta c\), свет идёт по пилообразной траектории. За половину периода свет проходит гипотенузу \(c\cdot t/2\), зеркало смещается на \(\beta c\cdot t/2\), поперечное расстояние по-прежнему \(l\) (задача 14.1.19):
\[ \Bigl(\frac{ct}{2}\Bigr)^2=l^2+\Bigl(\frac{\beta ct}{2}\Bigr)^2\qquad\Longrightarrow\qquad t=\frac{2l}{c\sqrt{1-\beta^2}}=\gamma\tau_0. \]Ходики на станции идут в \(\gamma\) раз медленнее: за то же «ракетное» тиканье земные часы отсчитывают больше.
Продольные ходики. Их период с станции обязан быть тем же \(t=\gamma\tau_0\): иначе, повернув ходики, мы отличили бы движение от покоя. Пусть наблюдаемое расстояние между зеркалами равно \(l'\). Свет догоняет переднее зеркало со скоростью \(c-\beta c\) и возвращается со скоростью \(c+\beta c\):
\[ t=\frac{l'}{c(1-\beta)}+\frac{l'}{c(1+\beta)}=\frac{2l'}{c(1-\beta^2)}. \]Приравниваем \(\gamma\cdot(2l/c)\):
\[ \frac{2l'}{c(1-\beta^2)}=\frac{2l}{c\sqrt{1-\beta^2}}\qquad\Longrightarrow\qquad l'=l\sqrt{1-\beta^2}=\frac{l}{\gamma}. \]Продольные размеры ракеты (и людей в ней, и линейки) с точки зрения станции сокращаются в \(\gamma\) раз. С ракеты ровно так же «сплющена» станция: принцип относительности.