Савченко · Глава 14. Специальная теория относительности · § 14.1. Постоянство скорости света. Сложение скоростей

Савченко, задача 14.1.21

↑ задача в главе

Задача 14.1.21сложение перпендикулярных скоростей
Условие

Во сколько раз изменится скорость частицы \(v\) при переходе в систему отсчёта, движущуюся со скоростью \(u\), если \(v\perp u\)?

v u v′ v′ₓ = −u v′ᵧ = v√(1−u²/c²)
К задаче 14.1.21. Поперечная скорость «обрезается» фактором \(1/\gamma\), продольная появляется целиком.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея Формулы сложения для перпендикулярных скоростей разные: продольная составляющая вычитается как обычно, поперечная делится на \(\gamma(1-v_\parallel u/c^2)\). Здесь \(v_\parallel=0\), и всё упрощается.

Система \(S'\) движется вдоль оси \(x\) со скоростью \(u\) относительно \(S\). В \(S\) частица имеет скорость только вдоль \(y\): \(v_x=0\), \(v_y=v\). Формулы преобразования скорости:

\[ v_x'=\frac{v_x-u}{1-v_xu/c^2}=-u,\qquad v_y'=\frac{v_y\sqrt{1-u^2/c^2}}{1-v_xu/c^2}=v\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}. \]

Полная скорость в новой системе

\[ v'=\sqrt{v_x'^2+v_y'^2}=\sqrt{u^2+v^2\Bigl(1-\frac{u^2}{c^2}\Bigr)}. \]

Отношение новой скорости к старой

\[ \frac{v'}{v}=\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}+\frac{u^2}{v^2}}. \]

Скорость изменилась в \(\sqrt{1-u^2/c^2+u^2/v^2}\) раз. Если \(u\ll v\), отношение близко к 1: добавка \(u\) почти не чувствуется на фоне большой поперечной скорости, да ещё поперечная компонента слегка уменьшилась. Если \(u\gg v\), отношение \(\approx u/v\): в новой системе частица в основном «едет назад» вместе с осями.

Проверка. При \(u=0\) отношение равно 1. При \(v=c\) (фотон поперёк) \(v'=\sqrt{u^2+c^2-u^2}=c\): скорость света не меняется. При \(v=u\) отношение \(\sqrt{2-u^2/c^2}\), нерелятивистски \(\sqrt{2}\) — теорема Пифагора. Размерность под корнем безразмерна.
ОтветВ \(\sqrt{1-u^2/c^2+u^2/v^2}\) раз.
Следующая задача 14.1.22 →
наверх оглавление