\(\pi^0\)-мезоны, имеющие одинаковую скорость \(\beta c\), распадаются на \(\gamma\)-кванты: \(\pi^0\to\gamma+\gamma\). Какая часть \(\gamma\)-квантов движется под углами к скорости \(\beta c\), меньшими \(\pi/2\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
В системе покоя \(\pi^0\) распад изотропен: направления фотонов равномерно размазаны по сфере. (Два фотона летят в противоположные стороны, но усреднение по многим мезонам даёт изотропию каждого из них.)
Релятивистская аберрация связывает лабораторный угол \(\theta\) с собственным \(\theta'\):
\[ \cos\theta=\frac{\cos\theta'+\beta}{1+\beta\cos\theta'}. \]Граница передней полусферы в лаборатории — \(\theta=\pi/2\), \(\cos\theta=0\). Ей отвечает
\[ \cos\theta'+\beta=0\qquad\Longrightarrow\qquad \cos\theta'=-\beta. \]Все фотоны с \(\cos\theta'>-\beta\) в лаборатории летят вперёд (\(\theta<\pi/2\)). На сфере доля направлений с \(\cos\theta'>-\beta\) равна
\[ N=\frac{1-(-\beta)}{2}=\frac{1+\beta}{2}. \]При \(\beta=0\) ровно половина. При \(\beta\to1\) почти все фотоны летят вперёд: «фара релятивистской частицы». Задняя полусфера в лаборатории питается лишь узким задним конусом в системе покоя.