Двигаясь по круговой дорожке накопителя со скоростью, близкой к скорости света, электрон испускает свет в основном в направлении движения в области малого угла. Оцените этот угол, если скорость электрона на \(\Delta\) меньше скорости света, \(\Delta\ll c\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
В собственной системе электрон излучает примерно изотропно (или, во всяком случае, в широком угле). В лаборатории аберрация (задача 14.1.24) сгребает переднюю полусферу в узкий конус вокруг вектора скорости. Граница «передней полусферы» \(\theta'=\pi/2\) переходит в лабораторный угол
\[ \operatorname{tg}\theta=\frac{1}{\gamma}\cdot\frac{\sin\theta'}{\cos\theta'+\beta}\Big|_{\theta'=\pi/2}=\frac{1}{\gamma\beta}\simeq\frac{1}{\gamma}. \]Итак, характерный угол \(\delta\sim1/\gamma\). Осталось выразить \(\gamma\) через \(\Delta=c-v\):
\[ 1-\beta=\frac{\Delta}{c},\qquad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}=\frac{1}{\sqrt{(1-\beta)(1+\beta)}}\simeq\frac{1}{\sqrt{2\Delta/c}}=\sqrt{\frac{c}{2\Delta}}. \]По порядку величины (двойку в оценке не держат)
\[ \delta\simeq\sqrt{\frac{\Delta}{c}}. \]Это и есть ответ книги. Для электрона в накопителе с \(\gamma\sim10^4\) угол — \(10^{-4}\) рад, меньше минуты: излучение летит «вперёд узким прожектором» и заметает зал, когда электрон поворачивается на дорожке.