Для встречи с космическим кораблём, летящим со скоростью \(v\), под углом \(\alpha\) к направлению движения корабля запускается со скоростью \(u\) ракета связи. Определите скорость ракеты в системе отсчёта корабля.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
В лабораторной системе корабль летит вдоль \(x\) со скоростью \(v\), ракета — со скоростью \(u\) под углом \(\alpha\) к оси \(x\). Составляющие: \(u_\parallel=u\cos\alpha\), \(u_\perp=u\sin\alpha\).
Удобный обходной путь книги. Сначала перейдём в систему, движущуюся со скоростью \(u\cos\alpha\) вдоль \(x\). В ней ракета летит строго поперёк со скоростью
\[ v_p=\frac{u\sin\alpha}{\gamma_{u\cos\alpha}}=u\sin\alpha\sqrt{1-(u/c)^2\cos^2\alpha}, \]а корабль — вдоль \(x\) со скоростью
\[ v_k=\frac{v-u\cos\alpha}{1-vu\cos\alpha/c^2}. \]Теперь осталось перейти в систему корабля (вычесть \(v_k\)). Параллельная составляющая ракеты в системе корабля равна \(v_k\) по величине и противоположна по знаку относительно новой оси; поперечная увеличивается:
\[ v_\perp=\frac{v_p}{\sqrt{1-(v_k/c)^2}},\qquad v_\parallel=v_k. \]Полная скорость ракеты относительно корабля
\[ v_1=\sqrt{v_\perp^2+v_\parallel^2}=\frac{\sqrt{u^2+v^2-2vu\cos\alpha-(vu/c)^2\sin^2\alpha}}{1-vu\cos\alpha/c^2}. \]Числитель — релятивистский аналог теоремы косинусов: обычные \(u^2+v^2-2vu\cos\alpha\) минус добавка \((vu\sin\alpha/c)^2\). Знаменатель — стандартный лоренцев фактор сложения продольных скоростей.