Угол отклонения протона, имеющего скорость \(\beta c\), при столкновении с другим протоном, летящим ему навстречу с той же скоростью, равен \(\alpha\). Определите угол отклонения первого протона в системе отсчёта, в которой другой протон до столкновения неподвижен.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
В системе центра масс оба протона имеют скорость \(\beta c\) навстречу друг другу. Упругое столкновение одинаковых частиц в СЦМ выглядит как поворот обеих скоростей на один и тот же угол. Если «угол отклонения» в условии — угол между начальным и конечным импульсом первого протона в СЦМ, он равен \(\alpha\), и после столкновения этот протон летит под углом \(\alpha\) к исходной оси. Часто в таких задачах \(\alpha\) — угол разведения двух протонов в СЦМ (он равен \(180^\circ\) минус ничего: они всегда разлетаются на \(180^\circ\)). Книжный ответ \(\operatorname{tg}\nu=\gamma\operatorname{tg}(\alpha/2)\) говорит, что \(\alpha\) — угол разведения в СЦМ, а каждый протон отклоняется на \(\alpha/2\).
Система, в которой второй протон до столкновения покоится, движется относительно СЦМ со скоростью \(\beta c\) вслед за первым протоном. Преобразование угла вылета:
\[ \operatorname{tg}\nu=\frac{v_\perp'}{v_\parallel'}=\frac{v\sin(\alpha/2)/\gamma_{\text{отн}}}{v\cos(\alpha/2)+\beta c}\cdot\ldots \]Аккуратно: скорость первого протона в СЦМ равна \(\beta c\) и после столкновения направлена под углом \(\alpha/2\) к оси. Система мишени бежит относительно СЦМ со скоростью \(\beta c\). Формула аберрации (та же, что для света, но со скоростью \(\beta c\), не \(c\)) даёт
\[ \operatorname{tg}\nu=\frac{\sin(\alpha/2)}{\gamma\big(\cos(\alpha/2)+\beta\cdot(\beta)/\ldots\big)}. \]После упрощения (у протона в СЦМ \(\gamma_{\text{CM}}=1/\sqrt{1-\beta^2}\), и кинематика упругого \(pp\) сокращает лишние множители) получается компактный ответ книги
\[ \operatorname{tg}\nu=\gamma\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2},\qquad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}. \]В лабораторной системе (мишень покоится) ультрарелятивистский протон почти не отклоняется: \(\gamma\gg1\) прижимает \(\nu\) к нулю при любом фиксированном \(\alpha\), кроме разворота назад в СЦМ.