Во сколько раз замедлится ход времени в космическом корабле, летящем со скоростью 240 000 км/с?
К задаче 14.2.1. Корабль при \(v=0{,}8c\): часы на борту — собственные, земные измеряют \(\gamma\tau\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Собственное время на корабле и лабораторное связаны множителем \(\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}\). Часы корабля покоятся в его системе, поэтому с Земли они идут медленнее в \(\gamma\) раз.
Скорость корабля \(v=2{,}4\cdot10^8\) м/с, \(c=3\cdot10^8\) м/с, так что \(\beta=v/c=0{,}8\). Лоренц-фактор
Собственное время \(\Delta\tau\) (тики часов, летящих вместе с кораблём) связано с земным \(\Delta t\) формулой \(\Delta t=\gamma\Delta\tau\). Когда на Земле прошёл час, на корабле прошло \(36\) минут.
Откуда в книге «в 2,5 раза»? Это \(\gamma=5/2\), то есть \(1-\beta^2=0{,}16\), \(\beta=0{,}917\), \(v\approx2{,}75\cdot10^8\) м/с. Из написанных 240 000 км/с такое \(\gamma\) не получается. Считаем по условию: замедление в \(5/3\) раза. Печатное 2,5, скорее всего, относится к другой скорости, попавшей в ответы при наборе.
Проверка. При \(v=0\) замедления нет. При \(v=c\) часы останавливаются. \(\beta=0{,}8\) — стандартный учебный пример именно с \(\gamma=5/3\). Если забыть корень и посчитать \(1/(1-\beta^2)=1/0{,}36\approx2{,}8\), выйдет близко к 2,5 — возможно, так и появилась опечатка.
ОтветВ \(\gamma=5/3\approx1{,}67\) раза. (В книге «2,5 раза» — не сходится с \(v=240\,000\) км/с.)