Савченко · Глава 14. Специальная теория относительности · § 14.2. Замедление времени, сокращение размеров. Преобразование Лоренца

Савченко, задача 14.2.2

↑ задача в главе

Задача 14.2.2пролететь l за время жизни

Условие

Время жизни неподвижной частицы \(\tau\). С какой скоростью должна двигаться эта частица, чтобы пролететь расстояние \(l\)?

К задаче 14.2.2. Без замедления времени частица успевает лишь \(c\tau\); с ним — гораздо дальше.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея В лаборатории частица живёт не \(\tau\), а \(\gamma\tau\): её часы идут медленнее. За это время она проходит \(v\gamma\tau\). Требуем \(v\gamma\tau\ge l\) и решаем относительно \(v\).

Собственное время жизни — \(\tau\): столько показывают часы, летящие вместе с частицей, от рождения до распада. В лабораторной системе этот промежуток длиннее:

\[ \Delta t=\gamma\tau=\frac{\tau}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]

За лабораторное время частица проходит путь \(v\Delta t\). Чтобы путь был не меньше \(l\),

\[ \frac{v\tau}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\ge l. \]

Возводим в квадрат (обе части положительны):

\[ v^2\tau^2\ge l^2\Bigl(1-\frac{v^2}{c^2}\Bigr),\qquad v^2\Bigl(\tau^2+\frac{l^2}{c^2}\Bigr)\ge l^2,\qquad v\ge\frac{c}{\sqrt{1+(\tau c/l)^2}}. \]

Книга пишет строгое неравенство \(v>c/\sqrt{1+(\tau c/l)^2}\). При \(l\ll c\tau\) порог мал: даже медленная частица долетает. При \(l\gg c\tau\) нужно \(v\approx c\): без релятивистского замедления такие расстояния недоступны.

Проверка. При \(\tau\to\infty\) порог \(v\to0\): вечная частица доползёт с любой скоростью. При \(\tau\to0\) порог \(v\to c\). Нерелятивистски (\(l\ll c\tau\)) \(v>l/\tau\) — обычный путь/время. Размерность: \(\tau c/l\) безразмерно.

Ответ\(v>c\big/\sqrt{1+(\tau c/l)^2}\).

Следующая задача 14.2.3 →