Хотя время жизни неподвижного \(\mu\)-мезона мало — около \(2\cdot10^{-6}\) с, \(\mu\)-мезоны, рождённые космическими лучами на высоте 30 км, достигают поверхности Земли. Определите верхний предел разницы между скоростью света и скоростью \(\mu\)-мезонов.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Собственное время жизни \(\tau=2\cdot10^{-6}\) с. За это время свет проходит \(c\tau=3\cdot10^8\cdot2\cdot10^{-6}=600\) м — в пятьдесят раз меньше 30 км. Без замедления времени мюоны до Земли не долетают.
В лаборатории жизнь длится \(\gamma\tau\), путь \(v\gamma\tau\). Самый «экономный» случай — почти световые мюоны, \(v\approx c\), и условие «едва долетают»:
\[ c\gamma\tau\ge l=3\cdot10^4\ \text{м},\qquad \gamma\ge\frac{l}{c\tau}=\frac{3\cdot10^4}{600}=50. \]Из \(\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}=50\) следует \(1-\beta^2=1/2500\), \(1-\beta\approx1/(2\cdot2500)=1/5000\):
\[ \Delta v=c-v=c(1-\beta)\le\frac{c}{5000}=\frac{3\cdot10^8}{5000}=6\cdot10^4\ \text{м/с}=60\ \text{км/с}. \]Это верхний предел разницы: если \(c-v\) больше, \(\gamma\) не хватит. В книге напечатано «\(6\cdot10^4\) км/с» — опечатка единиц (тогда это \(0{,}2c\), и мюоны как раз не долетели бы). Верно \(6\cdot10^4\) м/с. В условии мельком сказано «\(\pi\)-мезонов» — тоже опечатка: речь о мюонах.