Протоны ускоряются напряжением 30 кВ, а затем, проходя газовую мишень, частично превращаются (практически не тормозясь), захватывая электроны, в быстрые нейтральные атомы водорода. Частота неподвижных атомов водорода равна \(3{,}2\cdot10^{15}\) Гц. На сколько изменится частота электромагнитных волн, излучаемых движущимися атомами водорода перпендикулярно направлению их движения?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Протон (а затем атом водорода той же скорости) набирает кинетическую энергию \(eU=30\) кэВ. Масса протона \(mc^2\approx938\) МэВ, так что
\[ \frac12\beta^2\approx\frac{K}{mc^2}=\frac{3\cdot10^4}{9{,}38\cdot10^8}=3{,}2\cdot10^{-5},\qquad \beta^2=6{,}4\cdot10^{-5}. \]Поперечный Доплер: наблюдаемая частота \(\nu'=\nu/\gamma=\nu\sqrt{1-\beta^2}\approx\nu(1-\tfrac12\beta^2)\). Сдвиг
\[ \Delta\nu=\nu-\nu'=\nu\cdot\frac12\beta^2=3{,}2\cdot10^{15}\cdot3{,}2\cdot10^{-5}=1{,}02\cdot10^{11}\ \text{Гц}? \]Книга даёт \(\Delta\nu=10^7\) Гц. Пересчитаем. Частота \(3{,}2\cdot10^{15}\) Гц — это ультрафиолет (лайман, \(\lambda=c/\nu\approx94\) нм). \(\tfrac12\beta^2=K/mc^2=30\cdot10^3/938\cdot10^6=3{,}2\cdot10^{-5}\), \(\Delta\nu=\nu\cdot\tfrac12\beta^2=3{,}2\cdot10^{15}\cdot3{,}2\cdot10^{-5}\approx1\cdot10^{11}\) Гц. Печатные \(10^7\) Гц меньше в \(10^4\) раз — возможно, брали частоту видимого света \(\sim5\cdot10^{14}\) и другую энергию, либо опечатка порядка. Физически верно
\[ \Delta\nu=\nu\cdot\frac{K}{mc^2}=3{,}2\cdot10^{15}\cdot\frac{3\cdot10^4}{9{,}4\cdot10^8}\approx1\cdot10^{11}\ \text{Гц}. \]Если следовать книге буквально, \(\Delta\nu=10^7\) Гц — тогда подразумевалась бы частота \(\sim3\cdot10^{11}\) Гц, чего у водорода нет. Оставляем вывод \(\Delta\nu=\nu K/(mc^2)\approx10^{11}\) Гц и отмечаем расхождение.
Стоп. \(K=30\) кэВ \(=30\cdot10^3\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\) Дж, \(m_p=1{,}67\cdot10^{-27}\), \(v=\sqrt{2K/m}=\sqrt{2\cdot4{,}8\cdot10^{-15}/1{,}67\cdot10^{-27}}=\sqrt{5{,}75\cdot10^{12}}=2{,}4\cdot10^6\) м/с, \(\beta=8\cdot10^{-3}\), \(\beta^2=6{,}4\cdot10^{-5}\), \(\tfrac12\beta^2=3{,}2\cdot10^{-5}\). Да. \(\nu\cdot 3{,}2\cdot10^{-5}=1{,}0\cdot10^{11}\) Гц. Книжные \(10^7\) Гц не воспроизводятся. Возможно, в условии частота \(3{,}2\cdot10^{11}\) (микроволны) — тогда \(\Delta\nu=10^7\). Либо частота \(3{,}2\cdot10^{15}\) и ответ \(10^{11}\). Пишем правильный расчёт и книжный ответ как вероятную опечатку порядка.