Как изменится частота плоской электромагнитной волны при нормальном отражении её от зеркала, движущегося со скоростью \(\beta c\) навстречу волне? Частота падающей волны \(\nu\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть зеркало наезжает на волну со скоростью \(\beta c\). В лабораторной системе падающая волна имеет частоту \(\nu\), отражённая — искомую \(\nu'\).
Наблюдатель, сидящий на зеркале, принимает падающую волну с частотой \(\nu_+=(1+\beta)\nu\) в главном порядке... точнее, релятивистски частота, измеренная движущимся наблюдателем, который идёт навстречу волне,
\[ \nu_{\text{стенка}}=\nu\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}. \]Но книга использует более элементарный аргумент, не требующий полного Доплера. В точке, движущейся со скоростью стенки, фаза падающей волны меняется как \(\omega(t+\beta t)=\omega(1+\beta)t\), потому что стенка едет навстречу гребням. Частота «по стенке» равна \(\nu(1+\beta)\). Отражённая волна убегает от стенки, и та же точка видит её частоту \(\nu'(1-\beta)\). На металле поле равно нулю в каждый момент, значит эти две частоты совпадают:
\[ \nu(1+\beta)=\nu'(1-\beta)\qquad\Longrightarrow\qquad \nu'=\nu\cdot\frac{1+\beta}{1-\beta}. \]Подождите: книга пишет \(\nu'=\nu(1-\beta)/(1+\beta)\). Это если зеркало убегает от волны. В условии «навстречу волне» — зеркало наезжает, частота должна вырасти. Печатный ответ \(\nu'=\nu(1-\beta)/(1+\beta)\) соответствует убегающему зеркалу (красное смещение). Формулировка «навстречу» и ответ с \((1-\beta)/(1+\beta)\) противоречат друг другу.
Читаем печатный вывод: «\(\nu/(1+\beta)=\nu'/(1-\beta)\), \(\nu'=\nu(1-\beta)/(1+\beta\)». Здесь \(\nu/(1+\beta)\) — частота на стенке, если стенка наезжает и «сжимает» период падающей... Знаки в элементарном аргументе легко перепутать. Физика однозначна: зеркало, едущее навстречу волне, повышает частоту, \(\nu'=\nu(1+\beta)/(1-\beta)\). Печатная формула описывает зеркало, едущее от волны. Следуем физике «навстречу» и отмечаем знак в книге.