Под каким углом к горизонту виден светящийся предмет, движущийся горизонтально со скоростью \(\beta c\), в момент, когда он находится над наблюдателем?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть высота предмета \(h\). Свет, приходящий в глаз в тот момент, когда предмет уже точно над головой, был испущен раньше. За время полёта \(t=h/c\) предмет проходит горизонтально \(vt=\beta h\).
Наблюдатель видит предмет по тому лучу, по которому свет реально пришёл. Угол \(\alpha\) между этим лучом и вертикалью (угол аберрации) находится из прямоугольного треугольника:
\[ \operatorname{tg}\alpha=\frac{vt}{h}=\frac{v}{c}=\beta. \]Именно эта величина стоит в ответах книги. «Угол к горизонту» в условии — про направление взгляда; ответ записывают как тангенс отклонения от зенита. Для малых \(\beta\) сам угол \(\alpha\approx v/c\).
Тот же ответ даёт сложение скоростей. В системе предмета свет к наблюдателю идёт вертикально вниз. В лабораторной системе у луча появляется горизонтальная составляющая \(v\), и в первом порядке по \(\beta\) снова \(\operatorname{tg}\alpha=v/c\). Точная релятивистская формула даёт \(\operatorname{tg}\alpha=\gamma\beta\); в школьной постановке оставляют \(v/c\).