По наблюдениям с Земли свет далёкой звезды падает на Землю под углом \(\alpha\) к направлению её движения, когда Земля приближается к звезде с наибольшей скоростью. На сколько изменится этот угол, когда скорость Земли изменит своё направление на противоположное?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
В системе Солнца направление на далёкую звезду фиксировано. Земля бежит по орбите со скоростью \(v=30\) км/с; в тот момент, когда она быстрее всего летит к звезде, луч составляет с \(\vec v\) угол \(\alpha\).
Релятивистская аберрация связывает угол \(\theta\) прихода луча в движущейся системе с углом \(\theta_0\) в системе Солнца:
\[ \cos\theta=\frac{\cos\theta_0+\beta}{1+\beta\cos\theta_0},\qquad \beta=\frac{v}{c}. \]При скорости \(+\vec v\) видимый угол равен \(\alpha\), при \(-\vec v\) он станет \(\alpha+\Delta\). Складывая два преобразования и пользуясь тождеством для тангенса полуразности, получаем
\[ \operatorname{tg}\frac{\Delta}{2}=\frac{\sin\alpha}{c/v+\cos\alpha}. \]Так как \(v/c=10^{-4}\ll1\), знаменатель почти равен \(c/v\):
\[ \operatorname{tg}\frac{\Delta}{2}\simeq\frac{v}{c}\sin\alpha=10^{-4}\sin\alpha. \]Для малых углов \(\Delta\simeq2\cdot10^{-4}\sin\alpha\) радиан — удвоенная годовая аберрация: через полгода телескоп наклоняют в другую сторону на тот же угол \((v/c)\sin\alpha\).