С первой космической станции на вторую, неподвижную относительно первой, одновременно направили испытательный зонд и световой сигнал. Отразившись от второй станции, затем от первой, световой сигнал вернулся на вторую станцию, когда на неё прибыл космический зонд. Какую скорость зонда относительно станции зафиксируют наблюдатели на станциях? Какую относительную скорость зафиксирует аппаратура зонда?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Наблюдатели станций. Станции покоятся друг относительно друга, расстояние между ними \(l\). Световой сигнал идёт по маршруту «1 → 2 → 1 → 2» и проходит путь \(3l\) со скоростью \(c\). Время в пути \(3l/c\). За это же время зонд проходит \(l\) со скоростью \(v\):
\[ \frac{3l}{c}=\frac{l}{v}\qquad\Longrightarrow\qquad v=\frac{c}{3}. \]Аппаратура зонда. Для зонда свет всегда удаляется со скоростью \(c\) — в этом весь постулат. Вторая станция движется навстречу зонду со скоростью \(u\) (это и есть искомая относительная скорость). Пусть \(l'\) — расстояние между станциями, измеренное с зонда. Время полёта света 1→2 равно \(l'/(c+u)\) (станция идёт навстречу), время 2→1 равно \(l'/(c-u)\) (станция убегает), и ещё раз 1→2: \(l'/(c+u)\). Полное время равно времени, за которое вторая станция доезжает до зонда, \(l'/u\):
\[ \frac{l'}{c+u}+\frac{l'}{c-u}+\frac{l'}{c+u}=\frac{l'}{u}. \]Сокращаем \(l'\) и решаем. Приводим к общему знаменателю:
\[ \frac{2}{c+u}+\frac{1}{c-u}=\frac{1}{u},\qquad \frac{2(c-u)+(c+u)}{c^2-u^2}=\frac{1}{u},\qquad \frac{3c-u}{c^2-u^2}=\frac{1}{u}. \] \[ u(3c-u)=c^2-u^2\qquad\Longrightarrow\qquad 3cu=c^2\qquad\Longrightarrow\qquad u=\frac{c}{3}. \]Обе группы наблюдателей фиксируют одну и ту же скорость сближения \(c/3\). Это не случайность: иначе можно было бы отличить «абсолютный покой» одной из систем.