Между двумя линзами сформирован пучок света с круглым сечением радиуса \(R\), направленным вдоль оси \(x\). Вдоль оси \(y\) движется диск того же радиуса со скоростью \(v\). Плоскость диска перпендикулярна оси \(x\). В лабораторной системе, в которой линзы неподвижны, движущийся диск сокращается в направлении движения и поэтому не может перекрыть пучок света. Для наблюдателя на диске сокращается сечение пучка и, казалось бы, должен наблюдаться момент полной экранировки света. Объясните этот парадокс.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
В лаборатории всё просто. Пучок — цилиндр радиуса \(R\). Диск едет вдоль \(y\), его поперечник вдоль \(y\) сокращён до \(R/\gamma<R\). В любой момент лабораторного времени диск — эллипс, который не накрывает круглое сечение. Часть света всегда проходит мимо. Экранировки нет, и это факт: либо фотоны дошли до второй линзы, либо нет.
Наблюдатель на диске видит другое. Цилиндр пучка едет на него вдоль \(y\) и сокращён в этом направлении: сечение кажется эллипсом с малой осью \(R/\gamma\), а диск — кругом радиуса \(R\). Казалось бы, диск больше сечения и должен его перекрыть.
Разгадка — в одновременности. «Сечение пучка в данный момент на диске» собирается из фотонов, которые пересекают плоскость диска в один и тот же момент по часам диска. В лаборатории эти пересечения разнесены по времени на \(\Delta t\sim (R v)/c^2\). За это время диск смещается вдоль \(y\) на величину как раз порядка \(R(1-1/\gamma)\) — ровно на столько, на сколько «не хватает» сокращённому диску. В каждый свой момент наблюдатель на диске видит, что часть пучка ещё не дошла до плоскости, а часть уже прошла. Полного перекрытия нет и у него.
Иными словами, лоренцево сокращение пучка нельзя фотографировать «целиком в один миг диска» так, чтобы все фотоны сечения лежали на диске. Парадокс — близнец карандаша с пеналом и падающего стержня: везде виновата одновременность.