Параллельный полу стержень падает на пол со скоростью \(\beta c\). Под каким углом к полу падает этот стержень в системе отсчёта, которая движется параллельно полу со скоростью \(\beta_1 c\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть собственная длина стержня \(L\), он параллелен полу (ось \(x\)) и падает вдоль \(y\) со скоростью \(\beta c\). В системе пола события «левый конец коснулся» и «правый конец коснулся» одновременны, \(\Delta t=0\), \(\Delta x=L\).
Система \(S'\) едет вдоль пола со скоростью \(\beta_1 c\). Преобразование Лоренца:
\[ \Delta t'=\gamma_1\Bigl(\Delta t-\frac{\beta_1\Delta x}{c}\Bigr)=-\gamma_1\frac{\beta_1 L}{c},\qquad \Delta x'=\gamma_1(\Delta x-v_1\Delta t)=\gamma_1 L, \]где \(\gamma_1=1/\sqrt{1-\beta_1^2}\). За время \(|\Delta t'|\) «ещё не коснувшийся» конец успевает опуститься на
\[ \Delta y=(\beta c)\,|\Delta t'|=\gamma_1\beta\beta_1 L. \](Поперечная скорость тоже преобразуется, но \(v_y'=\beta c/\gamma_1\) в стандартной формуле, и \(\gamma_1\) сокращается: \(\Delta y=v_y'|\Delta t'|=\beta\beta_1 L\). Уточним. Поперечная скорость в \(S'\): \(v_y'=v_y/\gamma_1=\beta c/\gamma_1\). Тогда \(\Delta y=v_y'|\Delta t'|=(\beta c/\gamma_1)\cdot\gamma_1\beta_1 L/c=\beta\beta_1 L\). Горизонтальный пролёт \(\Delta x'=\gamma_1 L\). Тангенс угла к полу
\[ \operatorname{tg}\alpha=\frac{\Delta y}{\Delta x'}=\frac{\beta\beta_1 L}{\gamma_1 L}=\frac{\beta\beta_1}{\sqrt{1-\beta_1^2}}. \]Стержень «косой» только из-за разновременности касаний: сам он не поворачивался, просто мы сравниваем положения концов в один момент \(S'\).